2.1 - O Filtro Passa-Baixa
(a) Dedução e Cálculo: Repita os passos (a) e (b) da seção anterior para este novo circuito. Note que a Lei das Malhas continua sendo \tilde{V}_{i n}=\tilde{V}_{C}+\tilde{V}_{R}, mas agora a saída é \tilde{V}_{\text {out }}=\tilde{V}_{R}. Deduza a expressão para \frac{\tilde{V}_{\text {out }}}{\tilde{V}_{\text {in }}} e, a partir dela, calcule a razão das amplitudes G(\omega)=V_{\text {out }} / V_{\text {in }}.
O que você deve obter:
G(\omega)=\frac{V_{\text {out }}}{V_{\text {in }}}=\frac{\omega R C}{\sqrt{1+(\omega R C)^{2}}}
(b) Análise Física dos Limites de Frequência: Novamente, analise o comportamento do circuito nos extremos de frequência.
  • Baixas Frequências (\omega \rightarrow 0) : O capacitor se comporta como um circuito aberto, bloqueando a corrente. Se a corrente no circuito é quase nula, qual deve ser a tensão sobre o resistor \left(V_{\text {out }}=I R\right) ?
  • Altas Frequências (\omega \rightarrow \infty) : O capacitor se comporta como um curtocircuito, não oferecendo oposição à corrente. Se a queda de tensão no capacitor é quase nula, o que a Lei de Kirchhoff diz sobre a relação entre V_{\text {out }} (tensão no resistor) e V_{i n} ?
Confirme se sua análise física corresponde aos limites matemáticos da sua expressão para G(\omega).

Passo 1

O enunciado descreve um circuito em regime senoidal de frequência \omega, com um capacitor C em série com um resistor R. A tensão de entrada é \tilde{V}_{\text{in}} aplicada em série, e a saída é a tensão no resistor, \tilde{V}_{\text{out}}=\tilde{V}_{R}. Vamos usar análise de impedâncias e a Lei das Malhas (Kirchhoff de tensão) para obter o divisores de tensão em frequência.

Passo 2

Em regime senoidal, as impedâncias são
Z_{C} = \frac{1}{j\omega C}, \quad Z_{R} = R.
Pelo divisor de tensão em série,
\frac{\tilde{V}_{\text{out}}}{\tilde{V}_{\text{in}}} = \frac{Z_{R}}{Z_{R} + Z_{C}} = \frac{R}{R + \frac{1}{j\omega C}}.

Passo 3

Multiplicando numerador e denominador por j\omega C, obtemos
\frac{\tilde{V}_{\text{out}}}{\tilde{V}_{\text{in}}} = \frac{R\,j\omega C}{1 + j\omega R C} = \frac{j\,\omega R C}{1 + j\,\omega R C}.
A razão de amplitudes (módulo) é
G(\omega) = \left|\frac{\tilde{V}_{\text{out}}}{\tilde{V}_{\text{in}}}\right| = \frac{\omega R C}{\sqrt{1 + (\omega R C)^{2}}}.

Passo 4

Análise física em baixas frequências \omega \to 0: o capacitor age como circuito aberto, a corrente I\approx0 e portanto
V_{\text{out}}=I\,R\approx0,
logo G(\omega)\to0. Do ponto de vista matemático, quando \omega\to0 o numerador \omega RC\to0, logo G(\omega)\to0.

Passo 5

Análise física em altas frequências \omega \to \infty: o capacitor age como curto, sua queda de tensão \tilde{V}_{C}\approx0 e pela Lei das Malhas \tilde{V}_{\text{in}}\approx\tilde{V}_{R}=\tilde{V}_{\text{out}}, ou seja G(\omega)\to1. Matematicamente, quando \omega\to\infty, \omega RC\to\infty e
G(\omega)=\frac{\omega RC}{\sqrt{1+(\omega RC)^{2}}}\to1.

Resposta

G(\omega)=\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} =\frac{\omega R C}{\sqrt{1+(\omega R C)^{2}}}.
Nos limites:
\omega\to0 \implies G(\omega)\to0, \quad \omega\to\infty \implies G(\omega)\to1.

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