Dadas as análises de peneiramento da alimentação e das frações obtidas em peneiras de 14 e 28 malhas, determinar a eficiência dessas peneiras. Determine a relação entre os fluxos de produto e rejeitos e o fluxo de alimentação.
Peneira (malha) Alimentação Fração Superior Fração Intermediária Fração Inferior
6/8 0,03676 0,16129
8/10 0,05882 0,25806
10/14 0,12500 0,48387 0,02740
14/20 0,25735 0,09677 0,43836
20/28 0,22059 0,38356 0,06250
28/35 0,13971 0,12329 0,31250
35/48 0,08824 0,02740 0,31250
48/65 0,05147 0,21875
65/100 0,02206 0,09375

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar a eficiência das peneiras de 14 e de 28 malhas (ou seja, quantificar quão bem cada peneira separa as partículas “grossas” das “finas”).
  2. Determinar a relação entre os fluxos de produto e rejeito e o fluxo de alimentação (ou seja, calcular P/F e R/F para cada uma dessas peneiras).
As informações fornecidas na tabela são, para cada classe de malha (linhas):
  • a fração da amostra retida nessa classe na alimentação (coluna “Alimentação”), e
  • a composição, por classes, de cada uma das três correntes finais que saem do banco de peneiras: “Fração Superior” (corrente grossa), “Fração Intermediária” (corrente média) e “Fração Inferior” (corrente fina).
    Observação importante: as colunas “Fração Superior”, “Fração Intermediária” e “Fração Inferior” estão expressas como a distribuição interna dessas correntes (cada coluna soma 1). A coluna “Alimentação” soma 1 e representa a distribuição de tamanhos na amostra total.

Passo 2

Plano de solução (resumido e claro):
  • Vamos chamar as massas (frações da alimentação total) das três correntes finais de S (Superior), I (Intermediária) e B (Inferior). Como são frações da alimentação,
S+I+B=1.
  • Para cada classe de malha j a massa da alimentação naquela classe A_j é a soma das contribuições dessa classe em cada corrente:
A_j = S\cdot s_j + I\cdot i_j + B\cdot b_j,
onde s_j,i_j,b_j são as frações (da coluna apropriada) da classe j dentro de cada corrente (essas frações estão na tabela).
  • Com essa relação podemos resolver S,I,B (usar classes que aparecem exclusivamente numa corrente permite achar S e B diretamente).
  • Definimos um corte de peneira (por exemplo, para 14 malhas o corte está entre as classes “10/14” e “14/20”; para 28 malhas entre “20/28” e “28/35”). Chamamos:
    • “coarse” (sobretamanho) as classes maiores que o corte,
    • “fine” (subtamanho) as classes menores que o corte.
  • Para uma peneira dada, definimos:
    • Fração subtamanho na alimentação: U = \sum_{j \in \text{fine}} A_j.
    • Subtamanho que foi parar incorretamente no rejeito (corrente superior): U_R = S\cdot\sum_{j\in\text{fine}} s_j.
    • Sobretamanho que passou incorretamente para as correntes de produto (intermediária e inferior): O_P = I\cdot\sum_{j\in\text{coarse}} i_j + B\cdot\sum_{j\in\text{coarse}} b_j.
  • Então as eficiências clássicas são:
    • Eficiência para subtamanho (percentual do subtamanho da alimentação que foi corretamente enviado ao produto):
    E_u = 1 - \frac{U_R}{U}.
    • Eficiência para sobretamanho (percentual do sobretamanho da alimentação que foi corretamente retido no rejeito):
    E_o = 1 - \frac{O_P}{\text{Oversize}},onde \text{Oversize}=1-U.
    • Eficiência global (fração da alimentação corretamente classificada):
    E_{\text{global}} = 1 - (U_R + O_P).
  • As razões produto/alimentação e rejeito/alimentação são simplesmente:
    • Para a peneira cujo produto é constituído pelas correntes abaixo do corte, P/F é a soma das frações dessas correntes; R/F é a soma das correntes acima do corte (veremos isso caso a caso).
Agora vamos calcular passo a passo.

Passo 3

Determinar S, I e B (massas das três correntes finais).
Da tabela, existem classes que aparecem somente na Fração Superior (coluna “Fração Superior”) — por exemplo a classe 6/8 tem A_{6/8}=0{,}03676 e s_{6/8}=0{,}16129, com i_{6/8}=b_{6/8}=0. Assim
0{,}03676 = S\cdot 0{,}16129 \quad\Rightarrow\quad S=\frac{0{,}03676}{0{,}16129}.
Calculando:
S \approx 0{,}22790.
Analogamente, a classe mais fina 65/100 aparece apenas na Fração Inferior com b_{65/100}=0{,}09375 e A_{65/100}=0{,}02206, logo
B=\frac{0{,}02206}{0{,}09375}\approx 0{,}235307.
Finalmente
I = 1 - S - B \approx 1 - 0{,}22790 - 0{,}235307 \approx 0{,}536793.
Resumo (frações das correntes finais, relativas à alimentação total):
S\approx 0{,}22790,\quad I\approx 0{,}53679,\quad B\approx 0{,}23531.

Passo 4

Preparação para as duas peneiras: definir classes coarse/fine e somas necessárias.
Peneira de 14 malhas (corte entre “10/14” e “14/20”):
  • Coarse (sobretamanho): classes 6/8,\;8/10,\;10/14 com somatório
\text{Oversize}_{14} = 0{,}03676+0{,}05882+0{,}12500=0{,}22058.
  • Fine (subtamanho): classes 14/20,\;20/28,\;28/35,\;35/48,\;48/65,\;65/100 com somatório
U_{14} = 0{,}25735+0{,}22059+0{,}13971+0{,}08824+0{,}05147+0{,}02206=0{,}77942.
Peneira de 28 malhas (corte entre “20/28” e “28/35”):
  • Coarse (sobretamanho): classes 6/8,\;8/10,\;10/14,\;14/20,\;20/28 com somatório
\text{Oversize}_{28}=0{,}03676+0{,}05882+0{,}12500+0{,}25735+0{,}22059=0{,}69852.
  • Fine (subtamanho): classes 28/35,\;35/48,\;48/65,\;65/100 com somatório
U_{28}=0{,}13971+0{,}08824+0{,}05147+0{,}02206=0{,}30148.

Passo 5

Cálculo das quantidades de material mal classificado e das eficiências para a peneira de 14 malhas.
  1. Subtamanho que foi para o rejeito (Superior): calcular a fração da corrente Superior que corresponde às classes finer que o corte. Da tabela, a única fração s_j em Superior correspondente a classes mais finas que 14 é s_{14/20}=0{,}09677. Então
U_{R,14}=S\cdot\sum_{j\in\text{fine}} s_j = S\cdot 0{,}09677 \approx 0{,}22790\cdot 0{,}09677 \approx 0{,}02207.
  1. Sobretamanho que passou incorretamente para as correntes de produto (Intermediária e Inferior):
  • Para as classes coarse relativas à peneira 14, os i_j e b_j são: apenas i_{10/14}=0{,}02740 é não-nulo (as outras coarse têm i_j=b_j=0).
    Assim
O_{P,14}=I\cdot(0{,}02740) + B\cdot(0)=I\cdot 0{,}02740 \approx 0{,}53679\cdot 0{,}02740 \approx 0{,}01472.
  1. Eficiências:
  • Eficiência para subtamanho:
E_{u,14} = 1 - \frac{U_{R,14}}{U_{14}} = 1 - \frac{0{,}02207}{0{,}77942} \approx 1 - 0{,}02831 \approx 0{,}97169 \;(\text{ou }97{,}17\%).
  • Eficiência para sobretamanho:
E_{o,14} = 1 - \frac{O_{P,14}}{\text{Oversize}_{14}} = 1 - \frac{0{,}01472}{0{,}22058} \approx 1 - 0{,}06674 \approx 0{,}93326 \;(\text{ou }93{,}33\%).
  • Eficiência global (fração corretamente classificada):
E_{\text{global},14} = 1 - (U_{R,14}+O_{P,14}) \approx 1 - (0{,}02207+0{,}01472)\approx 1 - 0{,}03679 \approx 0{,}96321 \;(\text{ou }96{,}32\%).
  1. Relação produto/alimentação e rejeito/alimentação para a peneira 14:
  • Produto (passou pela peneira 14) é a soma das correntes abaixo do corte: P/F = I + B \approx 0{,}53679 + 0{,}23531 = 0{,}77210.
  • Rejeito (retido pela peneira 14) é a corrente Superior: R/F = S \approx 0{,}22790.

Passo 6

Cálculo das quantidades de material mal classificado e das eficiências para a peneira de 28 malhas.
  1. Subtamanho que foi para o rejeito (Superior): aqui as frações s_j para classes mais finas que 28 são todas zero (na tabela não há frações da Fração Superior para as classes 28/35 e menores). Portanto
U_{R,28}=S\cdot\sum_{j\in\text{fine}} s_j = S\cdot 0 = 0.
Logo a eficiência para subtamanho será 100\%.
  1. Sobretamanho que passou incorretamente para as correntes de produto:
  • Para coarse (classes até 20/28), somamos os i_j e b_j correspondentes:
\sum_{j\in\text{coarse}} i_j = 0{,}02740 + 0{,}43836 + 0{,}38356 = 0{,}84932,
\sum_{j\in\text{coarse}} b_j = 0{,}06250\quad(\text{aparece apenas em }20/28).
Portanto
O_{P,28}=I\cdot 0{,}84932 + B\cdot 0{,}06250 \approx 0{,}53679\cdot 0{,}84932 + 0{,}23531\cdot 0{,}06250 \approx 0{,}47060.
  1. Eficiências:
  • Eficiência para subtamanho:
E_{u,28} = 1 - \frac{U_{R,28}}{U_{28}} = 1 - 0 = 1{,}00\;(\text{ou }100{,}00\%).
  • Eficiência para sobretamanho:
E_{o,28} = 1 - \frac{O_{P,28}}{\text{Oversize}_{28}} = 1 - \frac{0{,}47060}{0{,}69852} \approx 1 - 0{,}673998 \approx 0{,}326002 \;(\text{ou }32{,}60\%).
  • Eficiência global:
E_{\text{global},28} = 1 - (U_{R,28}+O_{P,28}) = 1 - 0{,}47060 \approx 0{,}52940 \;(\text{ou }52{,}94\%).
  1. Relação produto/alimentação e rejeito/alimentação para a peneira 28:
  • Produto (passou pela peneira 28) é a corrente Inferior B: P/F = B \approx 0{,}23531.
  • Rejeito (retido pela peneira 28) é S+I \approx 0{,}22790 + 0{,}53679 = 0{,}76469.

Resposta

Peneira 14 malhas — E_{u}=97{,}17\%; E_{o}=93{,}33\%; E_{\text{global}}=96{,}32\%. P/F=0{,}77210. R/F=0{,}22790.
Peneira 28 malhas — E_{u}=100{,}00\%; E_{o}=32{,}60\%; E_{\text{global}}=52{,}94\%. P/F=0{,}23531. R/F=0{,}76469.

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