Exercício 9.26. Encontre os pontos e valores extremos de
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sob os vínculos
z^{2}-x^{2}-y^{2}=0 \quad \text { e } \quad z-1-y-x=0
(Resposta: P=(-1+1 / \sqrt{2},-1+1 / \sqrt{2},-1+\sqrt{2}), f(P)=6-4 \sqrt{2} ; Q= (-1-1 / \sqrt{2},-1-1 / \sqrt{2},-1-\sqrt{2}), f(Q)=6+4 \sqrt{2})

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos de
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}
sujeito aos vínculos
g_{1}(x,y,z)=z^{2}-x^{2}-y^{2}=0,\quad g_{2}(x,y,z)=z-1-y-x=0.
O método adequado é o dos multiplicadores de Lagrange com duas restrições.

Passo 2

Formamos as condições de Lagrange:
\nabla f=\lambda\,\nabla g_{1}+\mu\,\nabla g_{2} junto com g_{1}=0 e g_{2}=0.
Calculamos os gradientes:
\nabla f=(2x,2y,2z),
\nabla g_{1}=(-2x,-2y,2z),
\nabla g_{2}=(-1,-1,1).
O sistema fica
\begin{cases} 2x=-2\lambda\,x-\mu,\\\\ 2y=-2\lambda\,y-\mu,\\\\ 2z=2\lambda\,z+\mu,\\\ z^{2}-x^{2}-y^{2}=0,\\\ z-1-x-y=0. \end{cases}

Passo 3

Das duas primeiras equações obtemos
\mu=-2x(1+\lambda) \quad\text{e}\quad \mu=-2y(1+\lambda).
Isto implica (1+\lambda)(x-y)=0. Há, portanto, dois casos a examinar.

Passo 4

Caso 1+\lambda\neq0, então x=y. Usando z-1-2x=0 temos
z=1+2x.
Substituindo em z^{2}-2x^{2}=0
(1+2x)^{2}-2x^{2}=0 \;\Longrightarrow\; 2x^{2}+4x+1=0 \;\Longrightarrow\; x=-1\pm\frac{1}{\sqrt2}.
Logo
x=y=-1\pm\frac{1}{\sqrt2}, \quad z=1+2\Bigl(-1\pm\frac{1}{\sqrt2}\Bigr)=-1\pm\sqrt2.

Passo 5

Caso 1+\lambda=0, ou seja \lambda=-1, então das duas primeiras equações segue \mu=0 e da terceira
2z=-2z \;\Longrightarrow\; z=0.
Mas z=0 não satisfaz z-1-x-y=0 e z^{2}-x^{2}-y^{2}=0 simultaneamente (implicaria x=y=0 e x+y=-1, contradição). Logo não há mais soluções.

Passo 6

Denotando
P=\Bigl(-1+\tfrac{1}{\sqrt2},-1+\tfrac{1}{\sqrt2},-1+\sqrt2\Bigr), \quad Q=\Bigl(-1-\tfrac{1}{\sqrt2},-1-\tfrac{1}{\sqrt2},-1-\sqrt2\Bigr),
calculamos
f(P)=2\Bigl(-1+\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)^{2}+\Bigl(-1+\sqrt2\Bigr)^{2}=6-4\sqrt2,
f(Q)=2\Bigl(-1-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr)^{2}+\Bigl(-1-\sqrt2\Bigr)^{2}=6+4\sqrt2.

Resposta

P=\bigl(-1+\tfrac{1}{\sqrt2},\,-1+\tfrac{1}{\sqrt2},\,-1+\sqrt2\bigr),
f(P)=6-4\sqrt2 (mínimo);
Q=\bigl(-1-\tfrac{1}{\sqrt2},\,-1-\tfrac{1}{\sqrt2},\,-1-\sqrt2\bigr),
f(Q)=6+4\sqrt2 (máximo).

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