Uma fina barra cilíndrica infinita está uniformemente carregada e produz um campo elétrico de intensidade igual a
a uma distância de 2 m .
Com base nessas informações e sabendo que
e
, assinale a opção em que é corretamente apresentada a densidade linear de carga dessa barra.
(A)
(B)
(C)
(D)
(e)
(A)
(B)
(C)
(D)
(e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
- A barra é infinita e uniformemente carregada (isto garante simetria cilíndrica).
- A intensidade do campo elétrico a uma distância de
é . - A constante do meio é
(valor fornecido). - Foi dado
(usar este valor nas contas).
O que o problema pede: determinar a densidade linear de carga(em ) da barra e identificar a alternativa correta.
Passo 2
Vamos lembrar a ideia física e a fórmula que usamos: para uma linha infinita com densidade linear
, por simetria cilíndrica escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento
. O fluxo elétrico pela superfície lateral é o produto do campo pela área lateral, porque o campo é radial e constante sobre essa superfície. Pelo teorema de Gauss:
Aqui
é a carga dentro da superfície gaussiana. Substituindo:
Cancelando
(aparece nos dois lados) obtemos a relação conhecida para o campo de uma linha infinita:
Passo 3
Isolamos
na expressão anterior:
Explicando as variáveis:
-
é a densidade linear de carga que queremos (em ); -
é o módulo do campo elétrico medido (em ); -
é a permissividade elétrica do vácuo (em ); -
é a distância radial onde o campo foi medido (em ); -
é o número pi (usaremos o valor fornecido ).
Passo 4
Agora substituímos os valores fornecidos e calculamos passo a passo (tudo em notação científica):
Usando
temos
. Então
Multiplicando por
m:
Agora multiplicamos por
:
Calculando o coeficiente:
e o expoente:
Portanto
Passo 5
Verificação das unidades (rápida):
tem unidades
,
tem
e
tem
. Multiplicando:
ou seja, dá
como esperado.
Passo 6
Comparando o valor obtido com as alternativas fornecidas, o resultado coincide com a alternativa (e).
Resposta
(e)