Uma fina barra cilíndrica infinita está uniformemente carregada e produz um campo elétrico de intensidade igual a 5 \times 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{C} a uma distância de 2 m .
Com base nessas informações e sabendo que \varepsilon_{0}=8,9 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} \cdot \mathrm{~N}^{-1} \cdot \mathrm{~m}^{-2} e \pi=3, assinale a opção em que é corretamente apresentada a densidade linear de carga dessa barra.
(A) 2,67 \times 10^{-12} \mathrm{C} / \mathrm{m}
(B) 2,67 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m}
(C) 5,34 \times 10^{-8} \mathrm{C} / \mathrm{m}
(D) 2,67 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}
(e) 5,34 \times 10^{-6} \mathrm{C} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações relevantes:
  • A barra é infinita e uniformemente carregada (isto garante simetria cilíndrica).
  • A intensidade do campo elétrico a uma distância de 2\\ \mathrm{m} é E=5\times10^{4}\\ \mathrm{N}/\mathrm{C}.
  • A constante do meio é \varepsilon_{0}=8,9\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2} (valor fornecido).
  • Foi dado \pi=3 (usar este valor nas contas).
    O que o problema pede: determinar a densidade linear de carga \lambda (em \mathrm{C}/\mathrm{m}) da barra e identificar a alternativa correta.

Passo 2

Vamos lembrar a ideia física e a fórmula que usamos: para uma linha infinita com densidade linear \lambda, por simetria cilíndrica escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento L. O fluxo elétrico pela superfície lateral é o produto do campo pela área lateral, porque o campo é radial e constante sobre essa superfície. Pelo teorema de Gauss:
\Phi = E \cdot (2\pi r L) = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui Q_{\text{enc}}=\lambda L é a carga dentro da superfície gaussiana. Substituindo:
E\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}.
Cancelando L (aparece nos dois lados) obtemos a relação conhecida para o campo de uma linha infinita:
E=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_{0} r}.

Passo 3

Isolamos \lambda na expressão anterior:
\lambda = E\cdot 2\pi \varepsilon_{0} r.
Explicando as variáveis:
  • \lambda é a densidade linear de carga que queremos (em \mathrm{C}/\mathrm{m});
  • E é o módulo do campo elétrico medido (em \mathrm{N}/\mathrm{C});
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo (em \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2});
  • r é a distância radial onde o campo foi medido (em \mathrm{m});
  • \pi é o número pi (usaremos o valor fornecido \pi=3).

Passo 4

Agora substituímos os valores fornecidos e calculamos passo a passo (tudo em notação científica):
\lambda = \left(5\times10^{4}\right)\cdot 2\cdot\pi\cdot\left(8,9\times10^{-12}\right)\cdot 2.
Usando \pi=3 temos 2\pi=6. Então
2\pi\varepsilon_{0}=6\cdot\left(8,9\times10^{-12}\right)=53,4\times10^{-12}.
Multiplicando por r=2 m:
6\varepsilon_{0}r=53,4\times10^{-12}\cdot 2 =106,8\times10^{-12}=1,068\times10^{-10}.
Agora multiplicamos por E=5\times10^{4}:
\lambda = \left(5\times10^{4}\right)\cdot\left(1,068\times10^{-10}\right) = (5\cdot1,068)\times10^{4-10}.
Calculando o coeficiente:
5\cdot1,068=5,34,
e o expoente:
10^{4-10}=10^{-6}.
Portanto
\lambda = 5,34\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 5

Verificação das unidades (rápida): E tem unidades \mathrm{N}/\mathrm{C}, \varepsilon_{0} tem \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2} e r tem \mathrm{m}. Multiplicando:
\mathrm{N}/\mathrm{C}\times \mathrm{C}^{2}\!\cdot\!\mathrm{N}^{-1}\!\cdot\!\mathrm{m}^{-2}\times\mathrm{m} = \mathrm{C}/\mathrm{m},
ou seja, dá \mathrm{C}/\mathrm{m} como esperado.

Passo 6

Comparando o valor obtido com as alternativas fornecidas, o resultado coincide com a alternativa (e).

Resposta

(e) 5,34\times10^{-6}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}

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