4 - Uma fina folha de ouro tem massa de 6,50 \mathrm{mg} e área de 3,12 \mathrm{~cm}^{2}. Qual a espessura da folha de ouro? Sendo a densidade do ouro é de 19300 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (peguei todos do enunciado):
  • massa da folha: m = 6,50\\ \mathrm{mg}.
  • área da folha: A = 3,12\\ \mathrm{cm}^{2}.
  • densidade do ouro: \rho = 19300\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.
O que é pedido:
  • a espessura t da folha de ouro.

Passo 2

Entendendo a relação física que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas).
A densidade \rho é definida como a razão entre massa e volume:
\rho = \frac{m}{V},
onde
  • \rho é a densidade (unidade: \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • m é a massa (unidade: \mathrm{kg}),
  • V é o volume (unidade: \mathrm{m}^{3}).
Para uma folha fina com área A e espessura (ou altura) t, o volume é
V = A \cdot t.
Substituindo V na definição de densidade:
\rho = \frac{m}{A t}.
Isolando a espessura t, obtemos a fórmula que vamos aplicar na prova:
t = \frac{m}{\rho A}.
Aqui cada símbolo significa:
  • t: espessura que queremos (unidade: \mathrm{m}),
  • m: massa da folha (convertida para \mathrm{kg}),
  • \rho: densidade do material ( \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}),
  • A: área da folha (convertida para \mathrm{m}^{2}).

Passo 3

Converter todas as grandezas para o sistema de unidades SI (porque \rho está em \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}).
Converter massa:
1\\ \mathrm{mg} = 10^{-6}\\ \mathrm{kg},
logo
m = 6,50\\ \mathrm{mg} = 6,50\times10^{-6}\\ \mathrm{kg}.
Converter área:
1\\ \mathrm{cm}^{2} = 10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2},
logo
A = 3,12\\ \mathrm{cm}^{2} = 3,12\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^{2}.
A densidade já está em SI:
\rho = 19300\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.

Passo 4

Substituir na fórmula t = \dfrac{m}{\rho A} e calcular passo a passo.
Calcular o produto \rho A:
\rho A = 19300 \times 3,12\times10^{-4} = (19300\times3,12)\times10^{-4} = 60216\times10^{-4} = 6,0216\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}.
Agora calcular t:
t = \frac{m}{\rho A} = \frac{6,50\times10^{-6}}{6,0216} = 1,0793\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Passo de verificação de unidades e arredondamento para um valor prático.
Verificação de unidades: \rho A tem unidade (\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3})\cdot(\mathrm{m}^{2})=\mathrm{kg}/\mathrm{m}. Então m/(\rho A) tem unidade \mathrm{kg}/(\mathrm{kg}/\mathrm{m})=\mathrm{m}. OK, resulta em comprimento.
Arredondando com 3 algarismos significativos:
t \approx 1,08\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros ( 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}):
t \approx 1,08\\ \mu\mathrm{m}.
Também em nanômetros ( 1\\ \mathrm{nm}=10^{-9}\\ \mathrm{m}):
t \approx 1080\\ \mathrm{nm}.

Resposta

t \approx 1,08\times10^{-6}\\ \mathrm{m}
t \approx 1,08\\ \mu\mathrm{m}

Exercícios relacionados