Com a finalidade de avaliar a ordem de grandeza das quantidades de energia envolvidas nesses processos de fissão nuclear, é proposto o exercício a seguir.
Supondo necessárias 2.500 kcal para suprir as necessidades energéticas diárias de um ser Hominoide, quantos dias de vida abastecida estariam garantidos pelo aproveitamento total da fissão de 1,0 \mathrm{~mol} de átomos de urânio 235 ?

n_{\text {dias }}=
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_
\_\_\_\_

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: necessidade energética diária de um indivíduo igual a \,2500\\ \text{kcal/dia}.
  • Dado: aproveitamento total da fissão de \,1,0\\ \mathrm{mol} de átomos de urânio-235.
  • Pedido: calcular quantos dias de vida podem ser supridos por essa energia (ou seja, encontrar \,n_{\text{dias}}).
Informações físicas e constantes que vamos usar (valores típicos e bem conhecidos):
  • Energia aproximada liberada por uma fissão de \,^{235}\mathrm{U} é cerca de \,200\\ \text{MeV} por evento de fissão (valor padrão de ordem de magnitude).
  • Conversão de elétron-volt para joule: \,1\\ \text{eV} = 1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Número de Avogadro: \,N_A = 6,022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
  • Conversão de calorias para joules: \,1\\ \text{kcal} = 4184\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Transformar a energia por fissão de \,\text{MeV} para joules (explicando a conta).
  • Primeiro entender: \,\text{MeV} significa mega-eletronvolt, isto é \,1\\ \text{MeV}=10^{6}\\ \text{eV}.
  • Energia por fissão aproximada: \,200\\ \text{MeV}.
  • Converter para joules usando \,1\\ \text{eV}=1,602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
A conta em bloco:
E_{\text{fissão}} = 200\\ \text{MeV} = 200\times10^{6}\\ \text{eV} = 200\times10^{6}\times(1,602\times10^{-19})\\ \mathrm{J}ã
Agora simplificando potências de 10 e constantes:
E_{\text{fissão}} = 200\times1,602\times10^{6-19}\\ \mathrm{J} = 320,4\times10^{-13}\\ \mathrm{J} = 3,204\times10^{-11}\\ \mathrm{J}.ã
Explicação curta: multiplicou-se o número de elétron-volts por conversão para joules; o resultado é a energia liberada por uma única fissão em joules.

Passo 3

Calcular a energia total liberada pela fissão completa de \,1,0\\ \mathrm{mol} de átomos.
  • Ideia: cada átomo fissionado libera \,E_{\text{fissão}}ã. Em \,1,0\\ \mathrm{mol} \,N_A átomos. Logo:
E_{\text{total}} = N_A \times E_{\text{fissão}}.ã
Substituindo os valores:
E_{\text{total}} = (6,022\times10^{23})\times(3,204\times10^{-11})\\ \mathrm{J}.
Fazendo a multiplicação dos fatores:
E_{\text{total}} = (6,022\times3,204)\times10^{23-11}\\ \mathrm{J} = 19,301\times10^{12}\\ \mathrm{J} = 1,9301\times10^{13}\\ \mathrm{J}.
Interpretação: a fissão completa de \,1,0\\ \mathrm{mol} de \,^{235}\mathrm{U} libera da ordem de \,10^{13}\\ \mathrm{J} — um número enorme.

Passo 4

Converter a necessidade diária de \,2500\\ \text{kcal} para joules (para comparar unidades iguais).
  • Sabendo que \,1\\ \text{kcal}=4184\\ \mathrm{J}, temos:
E_{\text{dia}} = 2500\\ \text{kcal/dia} = 2500\times4184\\ \mathrm{J/dia}.
Calculando:
E_{\text{dia}} = 10\,460\,000\\ \mathrm{J/dia} = 1,0460\times10^{7}\\ \mathrm{J/dia}.
Comentário: cada dia de “alimentação” consome aproximadamente \,1,05\times10^{7}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular o número de dias possíveis dividindo a energia total disponível pela energia diária necessária.
  • Fórmula direta:
n_{\text{dias}} = \frac{E_{\text{total}}}{E_{\text{dia}}}.
Substituindo os valores já obtidos:
n_{\text{dias}} = \frac{1,9301\times10^{13}\\ \mathrm{J}}{1,0460\times10^{7}\\ \mathrm{J/dia}}.
Fazendo a divisão de coeficientes e a diferença de potências de 10:
n_{\text{dias}} = \frac{1,9301}{1,0460}\times10^{13-7} = 1,8455\times10^{6}\\ \text{dias}.
Arredondando para dois algarismos significativos (dados aproximados nas entradas, por exemplo a energia por fissão):
n_{\text{dias}} \approx 1,85\times10^{6}\\ \text{dias}.
Contexto rápido (opcional para sentir a ordem de grandeza): em anos isso é aproximadamente
\frac{1,85\times10^{6}\\ \text{dias}}{365\\ \text{dias/ano}} \approx 5,07\times10^{3}\\ \text{anos},
ou seja, da ordem de milhares de anos.

Resposta

\,n_{\text{dias}}\approx1,85\times10^{6}\\ \text{dias}

Exercícios relacionados