Indicar a espessura de chumbo necessária para que um operador possa trabalhar a uma distância de 1,0 \mathrm{~m}, durante duas horas por semana com uma fonte de 3,0 \mathrm{Ci} de { }^{60} \mathrm{Co}.
DADOS:
\begin{aligned} & { }^{60} \mathrm{Co}-\boldsymbol{x}_{1 / 2}(\mathrm{~Pb})=15,0 \mathrm{~mm} \\\ & k=13,0 \mathrm{rad} \cdot \mathrm{~h}^{-1} \cdot \mathrm{~cm}^{2} \cdot \mathrm{mCi}^{-1} \\\ & \mathrm{dmp}=0,1 \mathrm{rad} / \text { semana } \end{aligned}
x=
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Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado):
  • Atividade da fonte: A=3{,}0\\ \mathrm{Ci}.
  • Distância do operador até a fonte: r=1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Tempo de trabalho: t=2{,}0\\ \mathrm{h} por semana.
  • Constante experimental: k=13{,}0\\ \mathrm{rad}\cdot\mathrm{h}^{-1}\cdot\mathrm{cm}^{2}\cdot\mathrm{mCi}^{-1}.
  • Meia-espessura do chumbo para {}^{60}\mathrm{Co}: x_{1/2}(\mathrm{Pb})=15{,}0\\ \mathrm{mm}.
  • Dose máxima permitida por semana: \mathrm{dmp}=0{,}1\\ \mathrm{rad}/\text{semana}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a espessura de chumbo x (em mm ou cm) necessária para que a dose semanal recebida pelo operador não ultrapasse \mathrm{dmp}=0{,}1\\ \mathrm{rad}/\text{semana}.

Passo 2

Converter unidades para usar a fórmula padrão de taxa de dose sem blindagem.
Explicação rápida da fórmula que vamos usar:
  • A fórmula prática para taxa de dose sem blindagem, para fontes pontuais em rad/h, é
\dot{D}_0 = \frac{k\,A}{r^{2}},
onde \dot{D}_0 é a taxa de dose sem blindagem em \mathrm{rad}/\mathrm{h}, k é a constante dada, A é a atividade em \mathrm{mCi} e r é a distância em \mathrm{cm}. A dependência 1/r^{2} vem da lei do inverso do quadrado para uma fonte pontual.
Converter A e r para as unidades da constante:
  • A=3{,}0\\ \mathrm{Ci}=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{mCi}=3000\\ \mathrm{mCi}.
  • r=1{,}0\\ \mathrm{m}=100\\ \mathrm{cm}.
Agora calcular \dot{D}_0:
\dot{D}_0=\frac{13{,}0\cdot 3000}{100^{2}}=\frac{39\,000}{10\,000}=3{,}9\\ \mathrm{rad}/\mathrm{h}.

Passo 3

Calcular a dose semanal sem blindagem.
  • Se a taxa é \dot{D}_0=3{,}9\\ \mathrm{rad}/\mathrm{h} e o operador fica t=2{,}0\\ \mathrm{h} por semana em frente à fonte, então a dose semanal sem blindagem é
D_{\text{sem}}=\dot{D}_0\cdot t = 3{,}9\cdot 2{,}0 = 7{,}8\\ \mathrm{rad}/\text{semana}.

Passo 4

Determinar o fator de transmissão máximo B (razão entre dose após blindagem e dose sem blindagem) necessário para não ultrapassar a \mathrm{dmp}.
Queremos:
D_{\text{com}} = D_{\text{sem}}\cdot B \le \mathrm{dmp}.
Logo o maior B permitido é
B_{\max} = \frac{\mathrm{dmp}}{D_{\text{sem}}} = \frac{0{,}1}{7{,}8}.
Calcular numericamente:
B_{\max}=\frac{0{,}1}{7{,}8}\approx 0{,}0128205\\ .
Interpretação: a blindagem deve reduzir a dose a, no máximo, cerca de 1{,}282\% do valor sem blindagem.

Passo 5

Relacionar o fator de transmissão B com o número de meias-espessuras n e com a espessura x.
Explicação do conceito de meia-espessura (HVL):
  • A meia-espessura x_{1/2} é a espessura de material que reduz a intensidade (ou dose) à metade. Após n meias-espessuras a transmissão é
B = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • O número de meias-espessuras necessárias é
n = \frac{\ln\!\bigl(1/B\bigr)}{\ln 2} = -\frac{\ln B}{\ln 2}.
  • A espessura total é
x = n\cdot x_{1/2}.

Passo 6

Calcular n usando B_{\max}.
n = -\frac{\ln\!\bigl(B_{\max}\bigr)}{\ln 2} = -\frac{\ln(0{,}0128205)}{\ln 2}.
Fazendo as contas (usar log natural):
\ln(0{,}0128205)\approx -4{,}3567\quad\text{e}\quad \ln 2\approx 0{,}693147,
logo
n\approx \frac{4{,}3567}{0{,}693147}\approx 6{,}287.
Interpretação: são necessárias cerca de 6{,}287 meias-espessuras de chumbo.

Passo 7

Calcular a espessura x em mm e em cm.
  • Como x_{1/2}=15{,}0\\ \mathrm{mm},
x = n\cdot x_{1/2} \approx 6{,}287\cdot 15{,}0\\ \mathrm{mm}\approx 94{,}305\\ \mathrm{mm}.
Converter para centímetros:
x\approx 9{,}4305\\ \mathrm{cm}.

Passo 8

Arredondamento e comentário prático.
  • Em engenharia de blindagem costuma-se arredondar para cima (para garantir segurança). Assim, pode-se especificar x\approx 95\\ \mathrm{mm} de chumbo (ou 9{,}5\\ \mathrm{cm}).
  • Resultado mais estrito (numérico) é x\approx 94{,}3\\ \mathrm{mm}.
Força motivadora: é uma blindagem grande — faz sentido porque {}^{60}\mathrm{Co} em alta atividade produz muita dose e a ordem de grandeza (dezena de centímetros de chumbo) é típica para proteção efetiva.

Resposta

x \approx 94{,}3\\ \mathrm{mm} (recomendado x \approx 95\\ \mathrm{mm} para segurança)

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