Em uma pequena localidade no interior do país foi realizada uma pesquisa sobre a renda familiar mensal da população residente. Essa pesquisa envolveu uma amostra com 1000 famílias selecionadas ao acaso entre as residentes naquela localidade. O resultado é mostrado de forma resumida na distribuição de frequências da renda familiar apresentada na tabela a seguir, em classes de salário mínimo.
Classe Frequência
0,0 a 0,4 500
0,4 a 0,8 300
0,8 a 1,2 140
1,2 a 1,6 50
1,6 a 2,0 10
Total 1000
Uma equipe de profissionais quer realizar estudos sobre a distribuição de renda das famílias da referida população e, nesse sentido, pretende desenvolver um modelo probabilístico para a distribuição de renda familiar observada.
a) Com base apenas nos dados da pesquisa, calcule aproximadamente os percentuais de famílias que possuem renda inferior a: (i) 0,4 salário mínimo; (ii) 0,5 salário mínimo; e (iii) 1,0 salário mínimo. Calcule também o intervalo de valores de renda das famílias com: (iv) os 25 \% menores rendimentos e (v) os 10 \% maiores valores de renda.
b) Examinando a distribuição de frequências apresentada, sugira um modelo de distribuição de probabilidade (função densidade) que se assemelhe ao resultado da pesquisa e possa ser utilizado para estudos sobre a renda dos habitantes da localidade. Sugestão: empregue uma função simples, do tipo linear.
c) Com base no modelo de distribuição de probabilidade sugerido, efetue os mesmos cálculos do item (a).
d) Compare os resultados dos cálculos realizados nos itens anteriores (a) e (c) e diga quais são as suas conclusões.

Passo 1

O enunciado fornece uma distribuição de frequências agrupada em classes de renda (em salários mínimos) obtida de uma amostra de 1000 famílias. Vou listar claramente o que o problema pede e os dados que temos.
Dados (retirei estes valores da tabela do enunciado):
  • Classe [0{,}0,0{,}4): frequência 500.
  • Classe [0{,}4,0{,}8): frequência 300.
  • Classe [0{,}8,1{,}2): frequência 140.
  • Classe [1{,}2,1{,}6): frequência 50.
  • Classe [1{,}6,2{,}0]: frequência 10.
  • Total: N=1000.
O enunciado pede:
a) A partir apenas dos dados:
(i) o percentual de famílias com renda inferior a 0{,}4 SM;
(ii) o percentual com renda inferior a 0{,}5 SM;
(iii) o percentual com renda inferior a 1{,}0 SM;
(iv) o intervalo de renda que contém os 25\% menores rendimentos (primeiro quartil);
(v) o intervalo de renda dos 10\% maiores valores (percentil 90 em diante).
b) Sugerir um modelo de densidade (função linear simples) que se assemelhe aos dados.
c) Com o modelo do item (b), repetir os cálculos do item (a).
d) Comparar os resultados e tirar conclusões.
A partir do passo seguinte começo a resolver cada item passo a passo, explicando as fórmulas e suposições usadas.

Passo 2

Explicação didática sobre como extrair percentuais e quantis de dados agrupados (a partir da tabela) — suposição padrão:
  • A frequência relativa de uma classe é \dfrac{\text{freq da classe}}{N}.
  • Para calcular percentuais do tipo P(X<x_0) quando x_0 cai dentro de uma classe, usamos a suposição de distribuição uniforme dentro da classe (hipótese comum e razoável quando só temos os totais por classe).
  • Notação útil para interpolação de um quantil em dados agrupados: x_p = L + \frac{Np - F_b}{f_i}\cdot h,onde:
    • x_p é o quantil desejado (por exemplo, p=0{,}25 para o 1.º quartil);
    • L é o limite inferior da classe onde o quantil cai;
    • N é o total de observações ( 1000);
    • p é a fração alvo (por exemplo 0{,}25);
    • F_b é a frequência acumulada antes da classe do quantil;
    • f_i é a frequência da classe que contém o quantil;
    • h é a largura da classe (aqui todas têm h=0{,}4 salários mínimos).
  • Para probabilidades cumulativas P(X<x_0), somamos as frequências das classes totalmente abaixo de x_0 e, se x_0 está dentro de uma classe, adicionamos a fração proporcional dessa classe: P(X<x_0)=\frac{F_{\text{antes}} + f_i\cdot\frac{x_0-L}{h}}{N}.
Vou aplicar estas ideias numericamente com calma.

Passo 3

Cálculos do item (a) usando a tabela e a suposição de uniformidade dentro de cada classe.
(i) Percentual de famílias com renda inferior a 0{,}4 SM.
  • A classe [0{,}0,0{,}4) tem 500 famílias; todas ficam abaixo de 0{,}4.
  • Logo P(X<0{,}4)=\dfrac{500}{1000}=0{,}5.
Portanto o percentual é 50\%.
(ii) Percentual de famílias com renda inferior a 0{,}5 SM.
  • Todas as 500 da primeira classe estão abaixo de 0{,}5.
  • 0{,}5 está dentro da segunda classe [0{,}4,0{,}8), cuja frequência é 300 e largura h=0{,}4.
  • A porção da segunda classe até 0{,}5 corresponde a \dfrac{0{,}5-0{,}4}{0{,}4}=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25 da classe.
  • Assim número estimado de famílias até 0{,}5: 500 + 0{,}25\cdot 300 = 500 + 75 = 575.
  • Proporção: \dfrac{575}{1000}=0{,}575.
Portanto o percentual é 57{,}5\%.
(iii) Percentual de famílias com renda inferior a 1{,}0 SM.
  • Classes totalmente abaixo de 1{,}0: [0{,}0,0{,}4) e [0{,}4,0{,}8) totalizam 500+300=800.
  • 1{,}0 está na terceira classe [0{,}8,1{,}2) com frequência 140 e largura 0{,}4.
  • Fração da terceira classe até 1{,}0: \dfrac{1{,}0-0{,}8}{0{,}4}=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5.
  • Número estimado até 1{,}0: 800 + 0{,}5\cdot 140 = 800 + 70 = 870.
  • Proporção: \dfrac{870}{1000}=0{,}87.
Portanto o percentual é 87{,}0\%.
(iv) Intervalo de renda que contém os 25\% menores rendimentos (1.º quartil).
  • Queremos p=0{,}25. A acumulação após a primeira classe é 500 observações =50\%, que já ultrapassa 25\%. Logo o 25\% está dentro da primeira classe [0{,}0,0{,}4).
  • Aplicando a fórmula de interpolação com L=0{,}0, F_b=0 (frequência antes da classe), f_i=500, h=0{,}4, Np=1000\cdot 0{,}25=250: x_{0{,}25} = 0{,}0 + \frac{250 - 0}{500}\cdot 0{,}4 = \frac{250}{500}\cdot 0{,}4 = 0{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}2.
  • Assim os 25\% menores rendimentos vão desde 0{,}0 até aproximadamente 0{,}2 SM.
(v) Intervalo de renda dos 10\% maiores valores (percentil 90 em diante).
  • Queremos o valor do percentil 90 (o limiar acima do qual ficam 10\% das observações).
  • Acumulação antes da terceira classe (ou seja, até 0{,}8) é 500+300=800 observações =80\%.
  • A terceira classe [0{,}8,1{,}2) tem 140 observações; acumulando até o fim dessa classe chegamos a 940 (94%), que ultrapassa 90\%. Logo o percentil 90 está na terceira classe.
  • Aplicando a fórmula com L=0{,}8, F_b=800, f_i=140, h=0{,}4, Np=1000\cdot 0{,}9=900: x_{0{,}90} = 0{,}8 + \frac{900 - 800}{140}\cdot 0{,}4 = 0{,}8 + \frac{100}{140}\cdot 0{,}4.
\frac{100}{140}= \frac{10}{14}\approx 0{,}7142857,\quad 0{,}7142857\cdot 0{,}4 \approx 0{,}2857143.
x_{0{,}90}\approx 0{,}8 + 0{,}2857143 = 1{,}0857143.
  • Assim os 10\% maiores rendimentos são aproximadamente aqueles com renda entre 1{,}0857 SM e o máximo observado (limite superior da última classe) 2{,}0 SM.

Passo 4

Item (b): proposta de modelo de densidade linear simples e justificativa.
  • Observação: a tabela mostra uma concentração grande na cauda baixa (muitas famílias com renda pequena) e decresce para a direita. Uma função linear decrescente no intervalo [0,2] é uma escolha simples, contínua e fácil de manipular.
  • Proponho a densidade linear decrescente f(x) = c\left(1 - \frac{x}{2}\right),\qquad 0\le x\le 2,e f(x)=0 fora de [0,2].
  • Normalização: exigir \displaystyle\int_{0}^{2} f(x)\,dx = 1. Calculo c: \int_{0}^{2} c\left(1 - \frac{x}{2}\right)dx = c\left[ x - \frac{x^2}{4}\right]_0^2 = c(2 - 1)=c\cdot 1 = 1.Logo c=1.
  • Assim o modelo final é \boxed{f(x)=1 - \frac{x}{2},\quad 0\le x\le 2.}
  • Comentário rápido: esta densidade vale f(0)=1 e decresce linearmente até f(2)=0. É simples e capta a ideia de mais massa em rendas baixas; não é uma correspondência perfeita com as frequências observadas, mas é uma boa primeira aproximação simples.

Passo 5

Item (c): usar o modelo f(x)=1-\dfrac{x}{2} para repetir os cálculos do item (a). A função de distribuição acumulada (CDF) no suporte é
F(x)=\int_{0}^{x}\left(1-\frac{t}{2}\right)dt = x - \frac{x^2}{4},\qquad 0\le x\le 2.
(i) P(X<0{,}4)=F(0{,}4)=0{,}4 - \dfrac{0{,}4^2}{4}=0{,}4 - \dfrac{0{,}16}{4}=0{,}4 - 0{,}04=0{,}36. Ou seja 36{,}0\%.
(ii) P(X<0{,}5)=F(0{,}5)=0{,}5 - \dfrac{0{,}5^2}{4}=0{,}5 - \dfrac{0{,}25}{4}=0{,}5 - 0{,}0625=0{,}4375. Ou seja 43{,}75\%.
(iii) P(X<1{,}0)=F(1{,}0)=1{,}0 - \dfrac{1{,}0^2}{4}=1 - 0{,}25=0{,}75. Ou seja 75{,}0\%.
(iv) Primeiro quartil: resolver F(x)=0{,}25, isto é
x - \frac{x^2}{4}=0{,}25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -4x +1=0.
As raízes são x=2\pm\sqrt{3}. No intervalo [0,2] tomamos x=2-\sqrt{3}\approx 0{,}267949. Assim o 25\% menores rendimentos vão até aproximadamente 0{,}26795 SM.
(v) Percentil 90: resolver F(x)=0{,}9:
x - \frac{x^2}{4}=0{,}9 \quad\Longrightarrow\quad x^2 -4x +3{,}6=0.
A solução admissível no intervalo é
x = \frac{4 - \sqrt{1{,}6}}{2}\approx 1{,}367544.
Logo os 10\% maiores rendimentos são aproximadamente aqueles com renda entre 1{,}3675 SM e 2{,}0 SM.

Passo 6

Item (d): comparação entre os resultados empíricos (do item a) e os do modelo (item c) e conclusões.
Comparação numérica resumida (empírico vs modelo):
  • P(X<0{,}4): 0{,}500 (50,0%) vs 0{,}360 (36,0%) — o modelo subestima fortemente a massa muito próxima de zero observada na amostra.
  • P(X<0{,}5): 0{,}575 (57,5%) vs 0{,}4375 (43,75%) — modelo novamente menor.
  • P(X<1{,}0): 0{,}870 (87,0%) vs 0{,}75 (75,0%) — modelo coloca menos massa abaixo de 1{,}0 do que a amostra mostra.
  • 1.º quartil: 0{,}20 (empírico) vs 0{,}26795 (modelo) — modelo dá um 1.º quartil um pouco maior.
  • Limiar dos 10\% maiores: 1{,}0857 (empírico) vs 1{,}3675 (modelo) — modelo prevê que a cauda superior comece mais à direita (rendas maiores) do que indica a amostra.
Interpretação e conclusões:
  • A amostra aponta uma concentração ainda maior de famílias nos valores muito baixos de renda (mais massa na primeira classe) do que o modelo linear escolhido. O modelo f(x)=1-\dfrac{x}{2} é uma aproximação suave e decrescente que espalha mais massa para a região intermediária ( 0{,}8 1{,}6) do que a amostra observada.
  • Razões para as diferenças:
    • Os dados são agrupados grosseiramente em classes de largura 0{,}4; a interpolação empírica assume uniformidade dentro de cada classe (apenas uma aproximação).
    • O modelo linear proposto é muito simples e não tem flexibilidade para reproduzir a grande concentração na primeira classe e a cauda muito esparsa à direita observadas nos dados.
  • Conclusão prática: o modelo linear simples é útil como primeira aproximação e para cálculos analíticos fáceis, mas, se se desejar maior fidelidade à amostra (por exemplo para políticas públicas que dependam da fração muito pobre), convém ajustar um modelo com mais flexibilidade — por exemplo:
    • uma densidade piecewise-linear (segmentos lineares com pontos de quebra em 0{,}4,0{,}8,1{,}2,\ldots), ou
    • um modelo exponencial/pareto para cauda direita combinado com alta massa em zero, ou
    • ajustar parâmetros do modelo linear (ou quadrático) por mínimos quadrados às probabilidades das classes.
  • Mensagem final de incentivo: é normal que um modelo simples não reproduza tudo; o importante é entender essas diferenças e escolher a complexidade do modelo conforme a aplicação (quanto custo computacional/interpretabilidade se aceita em troca de melhor ajuste).

Resposta

a)(i) 50{,}0\%
a)(ii) 57{,}5\%
a)(iii) 87{,}0\%
a)(iv) os 25\% menores rendimentos estão aproximadamente em [0{,}0,\;0{,}2] salários mínimos (1.º quartil x_{0{,}25}\approx 0{,}2).
a)(v) os 10\% maiores rendimentos são aproximadamente [1{,}0857,\;2{,}0] salários mínimos (percentil 90\approx 1{,}0857).
b) Sugestão de modelo simples (linear decrescente): \displaystyle f(x)=1-\frac{x}{2},\quad 0\le x\le 2.
c)(i) 36{,}0\%
c)(ii) 43{,}75\%
c)(iii) 75{,}0\%
c)(iv) os 25\% menores rendimentos no modelo vão até x_{0{,}25}=2-\sqrt{3}\approx 0{,}26795 SM.
c)(v) os 10\% maiores rendimentos no modelo correspondem a x\gtrsim 1{,}36754 SM (percentil 90\approx 1{,}36754), isto é intervalo [1{,}3675,\;2{,}0].
d) Conclusão resumida: o modelo linear proposto capta a tendência decrescente da densidade, mas subestima fortemente a massa nos rendimentos muito baixos e desloca para a direita os quantis (por exemplo o 1.º quartil e o percentil 90) em comparação com a distribuição empírica observada; para maior fidelidade recomenda-se um modelo com maior flexibilidade (por exemplo piecewise-linear ou outro ajuste que privilegie maior massa perto de zero).

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