Determine o valor atual de uma série de 20 pagamentos mensais de RS 800,00 , considerando taxa de 1,5 \% ao mês.

Passo 1

O enunciado dá uma série de pagamentos mensais iguais e pede o valor atual (valor presente). Informações fornecidas:
  • Pagamento mensal: R\$\,800,00 por mês.
  • Número de pagamentos: n=20.
  • Taxa de juros: 1,5\% ao mês, ou seja i=0,015.
    Questão a responder: calcular o valor presente desses 20 pagamentos mensais considerando a taxa de 1,5\% ao mês.
Observação (assunção necessária): aqui vou assumir que os pagamentos ocorrem ao final de cada mês (anuidade ordinária, também chamada de anuidade vencida). Se os pagamentos fossem no início de cada mês (anuidade devida), faria um pequeno ajuste multiplicando o resultado por (1+i).

Passo 2

O que é o valor presente de uma série de pagamentos?
  • Valor presente (PV) é quanto, hoje, vale uma série de pagamentos futuros descontados pela taxa de juros.
  • Cada pagamento futuro é trazido a valor presente dividindo-se pelo fator (1+i)^k, onde k é o número de períodos até esse pagamento.
    Exemplo simples: o valor presente de um único pagamento de R\$\,800,00 daqui a 1 mês é \dfrac{R\$\,800,00}{1+i}. Para 2 meses seria \dfrac{R\$\,800,00}{(1+i)^2}, e assim por diante.

Passo 3

Fórmula do valor presente de uma anuidade ordinária (pagamentos ao final de cada período).
  • Seja PMT o valor do pagamento periódico (aqui PMT=R\$\,800,00).
  • Seja i a taxa por período (aqui i=0,015).
  • Seja n o número de pagamentos (aqui n=20).
O valor presente é a soma geométrica
PV = \sum_{k=1}^{n} \frac{PMT}{(1+i)^k}.
Para somar isso, nota-se que é uma progressão geométrica com razão q=\dfrac{1}{1+i}. Usando a soma de uma PG finita:
\sum_{k=1}^{n} q^{k} = q\frac{1-q^{n}}{1-q}.
Substituindo q=\dfrac{1}{1+i} e rearranjando, obtém-se a forma usual:
PV = PMT\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Explicando cada termo:
  • PV: valor presente procurado (o que queremos).
  • PMT: valor de cada pagamento periódico.
  • i: taxa de juros por período (em forma decimal).
  • n: número total de pagamentos.
  • (1+i)^{-n}: fator de desconto acumulado por n períodos.

Passo 4

Agora vamos aplicar a fórmula com os dados do problema:
PMT = R\$\,800,00,\qquad i=0,015,\qquad n=20.
Portanto
PV = R\$\,800,00\cdot\frac{1-(1{+}0,015)^{-20}}{0,015}.

Passo 5

Cálculo do fator (1{+}0,015)^{20} (mostro um cálculo iterativo que dá para fazer sem calculadora científica, multiplicando sucessivamente por 1{,}015):
Cálculo passo a passo (mostro alguns marcos):
\begin{aligned} (1{+}0,015)^1 &= 1{,}015000000,\\\ (1{+}0,015)^2 &= 1{,}030225000,\\\ (1{+}0,015)^5 &\approx 1{,}077284003884375,\\\ (1{+}0,015)^{10} &\approx 1{,}1605408250251501,\\\ (1{+}0,015)^{20} &\approx \bigl((1{+}0,015)^{10}\bigr)^2 \approx 1{,}3468550081894906. \end{aligned}
Com isso obtemos o fator inverso
(1{+}0,015)^{-20} \approx \frac{1}{1{,}3468550081894906} \approx 0{,}742627008.

Passo 6

Continuando os cálculos:
1-(1{+}0,015)^{-20} \approx 1 - 0{,}742627008 = 0{,}257372992.
Dividindo por i=0,015:
\frac{1-(1{+}0,015)^{-20}}{0,015} \approx \frac{0{,}257372992}{0{,}015} \approx 17{,}15819947.
Multiplicando por PMT=R\$\,800,00:
PV \approx R\$\,800{,}00 \times 17{,}15819947 \approx R\$\,13.726,559576.
Arredondando para centavos (modo financeiro usual):
PV \approx R\$\,13.726,56.

Passo 7

Interpretação curta e dica de prova:
  • O resultado R\$\,13.726,56 é quanto vale hoje receber 20 vezes R\$\,800,00 no fim de cada mês à taxa de 1{,}5\% ao mês.
  • Se os pagamentos fossem no início de cada mês (anuidade devida), multiplicaria esse PV por (1{+}i), ou seja por 1{,}015.
  • Bom trabalho — isso vale decorar: a fórmula \displaystyle PV=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} e saber derivá-la rapidamente com a soma de PG. Vai dar certo na prova!

Resposta

R\$\,13.726,56

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