Um financiamento no valor de \ 60.000 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais e iguais, sendo cobrada uma taxa de juros simples deéçõ2,2 %$ a.m. Determinar o valor de cada prestação pelo critério de capitalização linear.

Passo 1

O enunciado dá um financiamento e pede o valor de cada prestação quando se usa capitalização linear (juros simples). Dados e perguntas explicitados:
  • Valor do financiamento (principal): P=\$\,60.000.
  • Número de prestações mensais iguais: n=5.
  • Taxa de juros simples por mês: i=2,2\% = 0,022 (por mês).
  • Pergunta: determinar o valor de cada prestação (mesma prestação a cada mês) pelo critério de capitalização linear.

Passo 2

Entendendo o critério de capitalização linear (juros simples) e como descontar prestações:
  • Em juros simples, um capital C aplicado por t meses acumula para
C(1+i t),
onde i é a taxa por mês e t o número de meses.
  • Inversamente, o valor presente (no tempo zero) de um pagamento A que ocorrerá após t meses é
\frac{A}{1+i t}.
  • Se as prestações são iguais, de valor R, e ocorrem ao final de cada mês k=1,2,\dots,n, o valor presente das n prestações é a soma dos valores presentes individuais:
\sum_{k=1}^{n}\frac{R}{1+i k}.
  • Para que esse fluxo de prestações pague exatamente o empréstimo, o valor presente das prestações deve ser igual a P. Assim a equação fundamental é:
P=\sum_{k=1}^{n}\frac{R}{1+i k}.
Explicação das variáveis:
  • P: principal (valor do financiamento) — neste problema \$\,60.000.
  • R: valor de cada prestação (incógnita a determinar).
  • i: taxa de juros por mês (aqui 0,022).
  • k: índice do mês da prestação (1 até n).
  • n: número total de prestações (aqui 5).

Passo 3

Isolando R na fórmula:
P=R\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+i k} \quad\Rightarrow\quad R=\frac{P}{\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+i k}}.
Para este problema, com n=5 e i=0,022, teremos
R=\frac{\$\,60.000}{\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{1+0,022\,k}}.

Passo 4

Calcular a soma dos fatores de desconto \displaystyle S=\sum_{k=1}^{5}\frac{1}{1+0,022k}.
  • Para cada k temos os denominadores:
1+0,022\cdot 1=1,022,\quad 1+0,022\cdot 2=1,044,\quad 1,066,\quad 1,088,\quad 1,110.
  • Podemos escrever as frações de forma exata (multiplicando numerador e denominador por 1000) e simplificar:
\frac{1}{1,022}=\frac{1000}{1022}=\frac{500}{511}\approx 0,9784729,
\frac{1}{1,044}=\frac{1000}{1044}=\frac{250}{261}\approx 0,9578544,
\frac{1}{1,066}=\frac{1000}{1066}=\frac{500}{533}\approx 0,9384606,
\frac{1}{1,088}=\frac{1000}{1088}=\frac{125}{136}\approx 0,9191176,
\frac{1}{1,110}=\frac{1000}{1110}=\frac{100}{111}\approx 0,9009009.
  • Somando os valores aproximados:
S\approx 0,9784729+0,9578544+0,9384606+0,9191176+0,9009009\approx 4,6948065.

Passo 5

Calcular R dividindo P por S:
R=\frac{\$\,60.000}{4,6948065}\approx \$\,12.780,08.
Arredondamento: tomar duas casas decimais (centavos). Para checar rapidamente, se cada prestação for \$\,12.780,08 e se descontarmos cada uma por \frac{1}{1+0,022k} e somarmos, obtém-se aproximadamente \$\,60.000, confirmando que o valor está coerente.

Resposta

\$\,12.780,08

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