Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos:
-
22.000,00$ de hoje a 2 meses;
-
57.000,00$ de hoje a 5 meses;
-
90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do
mês e o segundo no
mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de comparação:
no vencimento do primeiro pagamento proposto;
no vencimento do primeiro pagamento proposto;
Passo 1
O enunciado dá três pagamentos originais e pede substituí‑los por dois pagamentos iguais, um no final do 6.º mês e outro no final do 8.º mês, adotando juros simples de
ao mês. A data de comparação pedida é o vencimento do primeiro pagamento proposto, ou seja, o final do 6.º mês. Lista dos dados fornecidos:
- pagamento de
em meses; - pagamento de
em meses; - pagamento de
em meses; - taxa de juros simples mensal
; - comparação em
meses; - pagamentos propostos: dois iguais, um em
e outro em meses.
O que se pede: calcular o valor (em reais/dólares conforme enunciado) de cada um desses dois pagamentos iguais, tornando as obrigações originais equivalentes na data de comparação
.
Passo 2
Regra de juros simples (explicando a fórmula):
- Para acumular um capital
desde uma data inicial até uma data posterior distante meses, usa‑se a fórmula de juros simples:
onde
é a taxa por mês (em decimal) e
é o número de meses.
- Para trazer um pagamento futuro (posterior à data de comparação) de volta à data de comparação, usa‑se a forma inversa (descontar por juros simples):
onde agora
é a diferença de meses entre o pagamento futuro e a data de comparação.
Exemplo rápido e intuitivo: se
,
por mês e
meses, então acumulando para 3 meses dá
. Se tivesse um pagamento de
daqui a 3 meses, trazê‑lo para hoje daria
.
Passo 3
Trazer cada obrigação para a data
meses usando as fórmulas acima (indicando
em meses para cada caso):
- Para o pagamento
em : está antes de , portanto acumula‑se por meses.
Calculemos passo a passo:
- Para o pagamento
em : está antes de , acumula por mês.
- Para o pagamento
em : está depois de , então desconta‑se por mês:
Vamos guardar essa forma fracionária e calcular numericamente mais adiante. Aproximação:
Passo 4
Somar todos os valores (em
) das obrigações originais para obter o montante equivalente total
na data de comparação:
Numericamente,
Arredondando para centavos,
.
Passo 5
Expressar a equivalência com os dois pagamentos iguais
:
- O primeiro pagamento
ocorre em , então na data de comparação vale exatamente . - O segundo pagamento
ocorre em , ou seja, meses depois de ; para trazê‑lo a desconta‑se por juros simples com :
A condição de equivalência é:
Passo 6
Resolver a equação para
. Colocando em evidência
:
Somando as frações:
Logo
Observação prática:
(simplificando em inteiros), mas podemos calcular numericamente a razão:
Passo 7
Calcular
numericamente usando
encontrado no passo 4:
Arredondando para centavos (modo corrente em pagamentos):
.
Passo 8
Interpretação final e verificação rápida (cheque mental): dois pagamentos de
um em
e outro em
trazidos para
valem
que coincide com o
calculado das obrigações originais (pequenas diferenças por arredondamento). Logo a solução está consistente.