Uma pessoa tem uma divida composta dos seguintes pagamentos:
  • \ 22.000,00$ de hoje a 2 meses;
  • \ 57.000,00$ de hoje a 5 meses;
  • \ 90.000,00$ de hoje a 7 meses.
Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais, vencíveis o primeiro ao final do 6^{\circ} mês e o segundo no 8^{\mathrm{a}} mês. Sendo de 3,7% ao mês de juros simples, calcular o valor destes pagamentos admitindo-se as seguintes datas de comparação:
no vencimento do primeiro pagamento proposto;

Passo 1

O enunciado dá três pagamentos originais e pede substituí‑los por dois pagamentos iguais, um no final do 6.º mês e outro no final do 8.º mês, adotando juros simples de 3,7\% ao mês. A data de comparação pedida é o vencimento do primeiro pagamento proposto, ou seja, o final do 6.º mês. Lista dos dados fornecidos:
  • pagamento de \$22.000,00 em 2 meses;
  • pagamento de \$57.000,00 em 5 meses;
  • pagamento de \$90.000,00 em 7 meses;
  • taxa de juros simples mensal i=3,7\% = 0,037;
  • comparação em t=6 meses;
  • pagamentos propostos: dois iguais, um em t=6 e outro em t=8 meses.
O que se pede: calcular o valor (em reais/dólares conforme enunciado) de cada um desses dois pagamentos iguais, tornando as obrigações originais equivalentes na data de comparação t=6.

Passo 2

Regra de juros simples (explicando a fórmula):
  • Para acumular um capital A desde uma data inicial até uma data posterior distante \Delta t meses, usa‑se a fórmula de juros simples:
A_{\text{acumulado}} = A\bigl(1 + i\cdot \Delta t\bigr),
onde i é a taxa por mês (em decimal) e \Delta t é o número de meses.
  • Para trazer um pagamento futuro (posterior à data de comparação) de volta à data de comparação, usa‑se a forma inversa (descontar por juros simples):
A_{\text{na data de comparação}} = \frac{A_{\text{futuro}}}{1 + i\cdot \Delta t},çã
onde agora \Delta t é a diferença de meses entre o pagamento futuro e a data de comparação.
Exemplo rápido e intuitivo: se A=100, i=0,01 por mês e \Delta t=3 meses, então acumulando para 3 meses dá 100(1+0,01\cdot3)=100(1,03)=103. Se tivesse um pagamento de 103 daqui a 3 meses, trazê‑lo para hoje daria 103/(1+0,01\cdot3)=103/1,03=100.

Passo 3

Trazer cada obrigação para a data t=6 meses usando as fórmulas acima (indicando \Delta t em meses para cada caso):
  1. Para o pagamento \$22.000 em t=2: está antes de t=6, portanto acumula‑se por \Delta t = 6-2 = 4 meses.
\text{valor em }t=6 = 22\,000\bigl(1 + 0,037\cdot 4\bigr).
Calculemos passo a passo:
1 + 0,037\cdot 4 = 1 + 0,148 = 1,148,
22\,000\cdot 1,148 = 25\,256.
  1. Para o pagamento \$57.000 em t=5: está antes de t=6, acumula por \Delta t = 1 mês.
\text{valor em }t=6 = 57\,000\bigl(1 + 0,037\cdot 1\bigr)=57\,000\cdot 1,037=59\,109.
  1. Para o pagamento \$90.000 em t=7: está depois de t=6, então desconta‑se por \Delta t = 7-6 = 1 mês:
\text{valor em }t=6 = \frac{90\,000}{1 + 0,037\cdot 1}=\frac{90\,000}{1,037}.
Vamos guardar essa forma fracionária e calcular numericamente mais adiante. Aproximação:
\frac{90\,000}{1,037}\approx 86\,788{,}813886\quad(\text{arredondando aos centavos: }86\,788{,}81).

Passo 4

Somar todos os valores (em t=6) das obrigações originais para obter o montante equivalente total S na data de comparação:
S = 25\,256 + 59\,109 + \frac{90\,000}{1,037}.
Numericamente,
S \approx 25\,256 + 59\,109 + 86\,788{,}813886 = 171\,153{,}813886.
Arredondando para centavos, S \approx 171\,153{,}81.

Passo 5

Expressar a equivalência com os dois pagamentos iguais X:
  • O primeiro pagamento X ocorre em t=6, então na data de comparação vale exatamente X.
  • O segundo pagamento X ocorre em t=8, ou seja, 2 meses depois de t=6; para trazê‑lo a t=6 desconta‑se por juros simples com \Delta t = 2:
\text{valor em }t=6 \text{ do segundo pagamento} = \frac{X}{1 + 0,037\cdot 2} = \frac{X}{1 + 0,074} = \frac{X}{1,074}.
A condição de equivalência é:
X + \frac{X}{1,074} = S.

Passo 6

Resolver a equação para X. Colocando em evidência X:
X\left(1 + \frac{1}{1,074}\right) = S.
Somando as frações:
1 + \frac{1}{1,074} = \frac{1,074 + 1}{1,074} = \frac{2,074}{1,074}.
Logo
X = S\cdot \frac{1,074}{2,074}.
Observação prática: \dfrac{1,074}{2,074}=\dfrac{537}{1037} (simplificando em inteiros), mas podemos calcular numericamente a razão:
\frac{1,074}{2,074}\approx 0,51783992285.

Passo 7

Calcular X numericamente usando S encontrado no passo 4:
X \approx 171\,153{,}813886 \times 0,51783992285 \approx 88\,630{,}277968.
Arredondando para centavos (modo corrente em pagamentos): X \approx \$88\,630{,}28.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida (cheque mental): dois pagamentos de \$88.630{,}28 um em t=6 e outro em t=8 trazidos para t=6 valem
88\,630{,}28 + \frac{88\,630{,}28}{1,074} \approx 88\,630{,}28 + 82\,523{,}53 \approx 171\,153{,}81,
que coincide com o S calculado das obrigações originais (pequenas diferenças por arredondamento). Logo a solução está consistente.

Resposta

\$88.630{,}28

Exercícios relacionados