Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de desembolso de um financiamento de
29.800,00$ :
Valor a Pagar
Momento do Pagamento
5.600,00$ & 17 dias \ \hline
7.900,00$ & 44 dias \ \hline
8.700,00$ & 73 dias \ \hline
109 dias
(
) 4.100,00$
152 dias
Para uma taxa de juros efetiva de
a.a., determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 109 dias.
| Valor a Pagar | Momento do Pagamento |
|
|
109 dias |
| ( | |
| ) 4.100,00$ | 152 dias |
Passo 1
O enunciado dá um empréstimo (ou financiamento) no valor de
e informa que serão feitos pagamentos futuros cujos valores e momentos são:
A taxa efetiva informada é de
ao ano, ou seja
ao ano.
O que o problema pede: determinar o valor do pagamento que ocorrerá daqui a 109 dias.
O que o problema pede: determinar o valor
Passo 2
Princípio financeiro usado (explicação didática):
- Quando temos um financiamento, o valor atual (presente) de todos os pagamentos futuros, descontados pela taxa de juros apropriada, deve ser igual ao montante recebido agora. Ou seja, a soma dos valores presentes (PV) dos pagamentos futuros é igual a
. - Para descontar um pagamento
que ocorre em dias com taxa efetiva anual , usamos a fórmula (assumindo ano comercial de 365 dias):
Aqui:
-
é o valor do pagamento futuro (em reais), -
é a taxa efetiva anual ( ), -
é o número de dias até o pagamento, -
é a fração do ano, e é o fator de acumulação para esse intervalo. - Aplicaremos essa fórmula a cada pagamento conhecido, somaremos os PVs e igualaremos à
para encontrar o PV do pagamento desconhecido; depois encontramos acumulando esse PV até 109 dias.
Passo 3
Calcular os fatores de desconto e os valores presentes dos pagamentos conhecidos. Vou usar
e a fórmula
.
Pagamento em 17 dias:
Pagamento em 44 dias:
Pagamento em 73 dias:
Pagamento em 152 dias:
(Usei aproximações decimais nos fatores de acumulação; cada linha mostra a fórmula e o resultado numérico arredondado a centavos.)
Passo 4
Somar os valores presentes já calculados:
Como a soma dos PVs de todos os pagamentos deve ser igual a
, o PV do pagamento desconhecido (em 109 dias) é:
Passo 5
Agora relacionamos
com
usando a fórmula de acumulação:
Calculamos o fator:
Portanto