Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de desembolso de um financiamento de \ 29.800,00$ :
Valor a Pagar Momento do Pagamento
\ 5.600,00$ & 17 dias \ \hline \ 7.900,00$ & 44 dias \ \hline \ 8.700,00$ & 73 dias \ \hline x 109 dias
(
) 4.100,00$ 152 dias
Para uma taxa de juros efetiva de 34,2 \% a.a., determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 109 dias.

Passo 1

O enunciado dá um empréstimo (ou financiamento) no valor de \$29.800,00 e informa que serão feitos pagamentos futuros cujos valores e momentos são:
\begin{array}{lcl} \text{Pagamento 1:} & \\ \$5.600,00 & \text{em } 17 \text{ dias} \\\ \text{Pagamento 2:} & \\ \$7.900,00 & \text{em } 44 \text{ dias} \\\ \text{Pagamento 3:} & \\ \$8.700,00 & \text{em } 73 \text{ dias} \\\ \text{Pagamento 4:} & \\ \$x & \text{em } 109 \text{ dias (valor a determinar)} \\\ \text{Pagamento 5:} & \\ \$4.100,00 & \text{em } 152 \text{ dias} \end{array}
A taxa efetiva informada é de \,34{,}2\% ao ano, ou seja \,i=0{,}342 ao ano.
O que o problema pede: determinar o valor \,x do pagamento que ocorrerá daqui a 109 dias.

Passo 2

Princípio financeiro usado (explicação didática):
  • Quando temos um financiamento, o valor atual (presente) de todos os pagamentos futuros, descontados pela taxa de juros apropriada, deve ser igual ao montante recebido agora. Ou seja, a soma dos valores presentes (PV) dos pagamentos futuros é igual a \$29.800,00.
  • Para descontar um pagamento A que ocorre em t dias com taxa efetiva anual i, usamos a fórmula (assumindo ano comercial de 365 dias):
\text{PV} = \frac{A}{(1+i)^{t/365}}.
Aqui:
  • A é o valor do pagamento futuro (em reais),
  • i é a taxa efetiva anual ( i=0{,}342),
  • t é o número de dias até o pagamento,
  • t/365 é a fração do ano, e (1+i)^{t/365} é o fator de acumulação para esse intervalo.
  • Aplicaremos essa fórmula a cada pagamento conhecido, somaremos os PVs e igualaremos à \$29.800,00 para encontrar o PV do pagamento desconhecido; depois encontramos x acumulando esse PV até 109 dias.

Passo 3

Calcular os fatores de desconto e os valores presentes dos pagamentos conhecidos. Vou usar (1+i)=1{,}342 e a fórmula \text{PV}=\dfrac{A}{(1+i)^{t/365}}.
Pagamento em 17 dias:
(1+i)^{17/365} = 1{,}342^{17/365}\approx 1{,}01380
\text{PV}_1=\frac{5.600}{1{,}342^{17/365}}\approx 5.600\cdot 0{,}98637 \approx \$5.523,69
Pagamento em 44 dias:
(1+i)^{44/365} = 1{,}342^{44/365}\approx 1{,}03609
\text{PV}_2=\frac{7.900}{1{,}342^{44/365}}\approx 7.900\cdot 0{,}96517 \approx \$7.624,84
Pagamento em 73 dias:
(1+i)^{73/365} = 1{,}342^{73/365}\approx 1{,}06062
\text{PV}_3=\frac{8.700}{1{,}342^{73/365}}\approx 8.700\cdot 0{,}94291 \approx \$8.204,10
Pagamento em 152 dias:
(1+i)^{152/365} = 1{,}342^{152/365}\approx 1{,}13057
\text{PV}_5=\frac{4.100}{1{,}342^{152/365}}\approx 4.100\cdot 0{,}88459 \approx \$3.626,86
(Usei aproximações decimais nos fatores de acumulação; cada linha mostra a fórmula e o resultado numérico arredondado a centavos.)

Passo 4

Somar os valores presentes já calculados:
\text{PV}_{\text{conhecidos}}=\text{PV}_1+\text{PV}_2+\text{PV}_3+\text{PV}_5
\text{PV}_{\text{conhecidos}}\approx 5.523{,}69 + 7.624{,}84 + 8.204{,}10 + 3.626{,}86 = \$24.979{,}49
Como a soma dos PVs de todos os pagamentos deve ser igual a \$29.800{,}00, o PV do pagamento desconhecido (em 109 dias) é:
\text{PV}_x = 29.800{,}00 - 24.979{,}49 = \$4.820{,}51

Passo 5

Agora relacionamos \text{PV}_x com x usando a fórmula de acumulação:
\text{PV}_x=\frac{x}{(1+i)^{109/365}} \quad\Longrightarrow\quad x = \text{PV}_x\cdot(1+i)^{109/365}.
Calculamos o fator:
(1+i)^{109/365} = 1{,}342^{109/365}\approx 1{,}09174
Portanto
x \approx 4.820{,}51 \times 1{,}09174 \approx \$5.263{,}33.

Resposta

\$5.263{,}33

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