- Find an equation for the ellipse with foci
and
and major axis of length 4 .
Passo 1
O enunciado pede a equação de uma elipse cujo conjunto de pontos
satisfaz que a soma das distâncias aos focos
e
é constante igual ao comprimento do eixo maior, isto é,
. O conteúdo aqui é a definição de elipse em termos de focos e a relação entre os parâmetros
,
e
, onde
é a distância do centro a cada foco.
Passo 2
Primeiro encontramos o valor de
. A distância entre os focos
e
é
Logo
.
Passo 3
Como o eixo maior tem comprimento
, temos
Na elipse relaciona-se
Passo 4
Os focos estão sobre a reta
, então o eixo maior está nessa direção (ângulo de
). Para escrever a elipse em coordenadas canônicas, fazemos a mudança de variáveis rotacionada:
de modo que o eixo
coincide com a direção
. Na forma padrão da elipse temos
Passo 5
Substituindo
e
em função de
:
Logo
Multiplicando por 8 e simplificando dá
Resposta
A equação da elipse é