1. Find an equation for the ellipse with foci (1,1) and (-1,-1) and major axis of length 4 .

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo conjunto de pontos (x,y) satisfaz que a soma das distâncias aos focos (1,1) e (-1,-1) é constante igual ao comprimento do eixo maior, isto é, 2a=4. O conteúdo aqui é a definição de elipse em termos de focos e a relação entre os parâmetros a, b e c, onde c é a distância do centro a cada foco.

Passo 2

Primeiro encontramos o valor de c. A distância entre os focos (1,1) e (-1,-1) é
2c = raiz(1 - (-1))^2 + (1 - (-1))^2 = raiz2^2 + 2^2 = raiz8 = 2raiz2
Logo c = raiz2.

Passo 3

Como o eixo maior tem comprimento 2a=4, temos
a = 2
Na elipse relaciona-se
b^2 = a^2 - c^2 = 4 - (raiz2)^2 = 4 - 2 = 2

Passo 4

Os focos estão sobre a reta y=x, então o eixo maior está nessa direção (ângulo de 45^circ). Para escrever a elipse em coordenadas canônicas, fazemos a mudança de variáveis rotacionada:
u = x+yraiz2, v = x-yraiz2,
de modo que o eixo u coincide com a direção y=x. Na forma padrão da elipse temos
u^2a^2 + v^2b^2 = 1 Longrightarrow u^24 + v^22 = 1

Passo 5

Substituindo u e v em função de x,y:
u^2 = (x+y)^22, v^2 = (x-y)^22
Logo
(x+y)^2/24 ;+;(x-y)^2/22 = 1 Longrightarrow (x+y)^28 + (x-y)^24 = 1
Multiplicando por 8 e simplificando dá
(x+y)^2 + 2,(x-y)^2 = 8 Longrightarrow 3x^2 - 2xy + 3y^2 = 8

Resposta

A equação da elipse é
3x^2 - 2xy + 3y^2 = 8

Exercícios relacionados