1. Use the definition of a hyperbola to derive Equation 6 for a hyperbola with foci ( pm c, 0) and vertices ( pm a, 0).

Passo 1

A definição de hipérbole é o lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a diferença das distâncias a dois focos fixos é constante e igual a 2a. Aqui os focos são
F1=(-c,0), F2=(c,0)
e os vértices são (pm a,0). Nosso objetivo é partir da condição
l|PF1 - PF2r| = 2a
e obter a forma canônica
x^2a^2 - y^2b^2 = 1,
onde se mostrará que b^2 = c^2 - a^2.

Passo 2

Escrevemos as distâncias de P(x,y) aos focos:
PF1 = raiz(x + c)^2 + y^2, PF2 = raiz(x - c)^2 + y^2
Num ponto do ramo direito ( x> a) temos
PF1 - PF2 = 2a,
ou seja
raiz(x + c)^2 + y^2 = raiz(x - c)^2 + y^2 ;+; 2a

Passo 3

Elevamos ao quadrado para eliminar uma raiz:
(x + c)^2 + y^2 = l(raiz(x - c)^2 + y^2 + 2ar)^2 = (x - c)^2 + y^2 + 4a,raiz(x - c)^2 + y^2 + 4a^2
Cancelamos y^2 e expandimos (xpm c)^2:
x^2 + 2cx + c^2 = x^2 - 2cx + c^2 + 4a,raiz(x - c)^2 + y^2 + 4a^2
Isso simplifica para
4cx = 4a,raiz(x - c)^2 + y^2 + 4a^2 Longrightarrow cx = a,raiz(x - c)^2 + y^2 + a^2

Passo 4

Isolamos a raiz e elevamos de novo ao quadrado:
a,raiz(x - c)^2 + y^2 = cx - a^2 Longrightarrow a^2l((x - c)^2 + y^2r) = (cx - a^2)^2
Expandindo ambos os lados:
a^2(x^2 - 2cx + c^2) + a^2y^2 = c^2x^2 - 2a^2cx + a^4
Os termos -2a^2cx cancelam, sobrando
a^2x^2 + a^2c^2 + a^2y^2 = c^2x^2 + a^4 ;Longrightarrow; a^2x^2 - c^2x^2 + a^2y^2 + a^2c^2 - a^4 = 0

Passo 5

Agrupando e definindo b^2 = c^2 - a^2, obtemos
x^2(a^2 - c^2) + a^2y^2 + a^2(c^2 - a^2) = 0 ;Longrightarrow; -(c^2 - a^2)x^2 + a^2y^2 + a^2b^2 = 0
Multiplicando por -1 e dividindo por a^2b^2, vem
x^2a^2 - y^2b^2 = 1

Resposta

boxedx^2a^2 ;-;y^2b^2 = 1, b^2 = c^2 - a^2

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