1. Show that the function defined by the upper branch of the hyperbola y^2 / a^2-x^2 / b^2=1 is concave upward.

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
y^2a^2-x^2b^2=1
e nos interessa o ramo superior, onde y>0. Isso define implicitamente uma função y(x). Para mostrar que ela é côncava para cima, basta provar que sua segunda derivada satisfaz
y''(x)>0
para todo xinR.

Passo 2

Isolamos y em função de x. Como queremos o ramo superior ( y>0), temos
y = araiz1+x^2b^2,

Passo 3

Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia. Seja
u(x)=1+x^2b^2,
então y=a,u^1/2 e
y' = acdot12u^-1/2cdot(2xb^2) =a,xb^2raiz,1+x^2b^2,,

Passo 4

Agora derivamos y'. Escrevendo
y'=ab^2,x, l(1+tfracx^2b^2r)^-1/2
e aplicando produto e cadeia, obtemos
y''=ab^2[ l(1+tfracx^2b^2r)^-1/2 + xcdotl(-tfrac12r)l(1+tfracx^2b^2r)^-3/2 cdot2xb^2 ]

Passo 5

Colocando em evidência l(1+tfracx^2b^2r)^-3/2:
y'' =ab^2, 1+tfracx^2b^2 ;-;tfracx^2b^2 l(1+tfracx^2b^2r)^3/2 =ab^2,l(1+tfracx^2b^2r)^3/2
Como a>0, b>0 e 1+tfracx^2b^2>0, segue
y''(x)>0forall xinR,
logo o ramo superior é côncavo para cima.

Resposta

A segunda derivada do ramo superior é
y''(x)=ab^2l(1+tfracx^2b^2r)^3/2>0
para todo x, o que garante que a função é côncava para cima.

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