- Show that the function defined by the upper branch of the hyperbola
is concave upward.
Passo 1
O enunciado dá a hipérbole
e nos interessa o ramo superior, onde
. Isso define implicitamente uma função
. Para mostrar que ela é côncava para cima, basta provar que sua segunda derivada satisfaz
para todo
.
Passo 2
Isolamos
em função de
. Como queremos o ramo superior (
), temos
Passo 3
Calculamos a primeira derivada usando regra da cadeia. Seja
então
e
Passo 4
Agora derivamos
. Escrevendo
e aplicando produto e cadeia, obtemos
Passo 5
Colocando em evidência
:
Como
,
e
, segue
logo o ramo superior é côncavo para cima.
Resposta
A segunda derivada do ramo superior é
para todo
, o que garante que a função é côncava para cima.