Find an equation of the tangent to the curve at the given point by two methods: (a) without eliminating the parameter and (b) by first eliminating the parameter.
7. x=1+ln t, y=t^2+2 ; (1,3)

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada x=1+ln t,;y=t^2+2 e pede a reta tangente em (1,3). A ideia é usar dois caminhos: (a) derivadas paramétricas diretas, (b) eliminar t para achar y(x) e depois derivar.

Passo 2

A gente identifica t no ponto: de x=1+ln t=1 vem ln t=0 e t=1. Calculando as derivadas paramétricas,
dxdt=1t, dydt=2t,
a inclinação é
m=dy/dtdx/dt=2t1/t=2t^2
e em t=1 resulta m=2.

Passo 3

Com o ponto (1,3) e m=2, a equação da reta pelo método (a) fica
y-3=2(x-1)
ou seja
y=2x+1

Passo 4

Eliminando t, da primeira equação vem t=e^x-1. Substituindo em y=t^2+2 obtemos
y=e^2(x-1)+2
Derivando em relação a x,
dydx=2e^2(x-1),
que em x=1 vale 2. Logo a reta pelo método (b) também é
y-3=2(x-1)Longrightarrow y=2x+1

Resposta

y=2x+1

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