Find d y / d x and d^2 y / d x^2. For which values of t is the curve concave upward?
14. x=t+ln t, y=t-ln t

Passo 1

O enunciado dá a curva em forma paramétrica
x = t + ln t, y = t - ln t
e pede a derivada primeira dydx, a segunda d^2ydx^2 e, em seguida, determinar para quais valores de t a curva é côncava para cima. Vamos usar diferenciação paramétrica, em que
dydx = dydtdxdt
e
d^2ydx^2 = ddxl(dydxr) = ddtl(dydxr)dxdt

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t.
dxdt = 1 + 1t, dydt = 1 - 1t

Passo 3

Usando
dydx = (dy/dt)(dx/dt), temos
dydx = 1 - tfrac1t1 + tfrac1t = tfract-1ttfract+1t = t - 1t + 1

Passo 4

Agora precisamos de ddtl(tfracdydxr). Defina u(t)=t-1 e v(t)=t+1, então
dydx = uv, ddtl(uvr) = v,u' - u,v'v^2 = (t+1)cdot1 - (t-1)cdot1(t+1)^2 = 2(t+1)^2

Passo 5

Finalmente,
d^2ydx^2 = ddtl(dydxr)dxdt = tfrac2(t+1)^21 + tfrac1t = 2(t+1)^2;tt+1 = 2t(t+1)^3

Passo 6

Para a curva ser côncava para cima, queremos
d^2ydx^2 > 0 ;Longrightarrow; 2t(t+1)^3 > 0
O domínio da curva exige t>0 (já que há ln t). Para t>0, o numerador 2t é positivo e o denominador (t+1)^3 também é positivo, logo
d^2ydx^2 > 0 para todo t>0

Resposta

dydx = t-1t+1, d^2ydx^2 = 2t(t+1)^3,
e a curva é côncava para cima para todo t>0.

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