Mostre que a função
não é contínua na origem
(0,0) .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que ela não é contínua em
(0,0) .
Para isso, lembramos queh seria contínua em
(0,0) se e somente se
Para isso, lembramos que
Basta então encontrar uma direção de aproximação cuja limite não seja
0 .]
Passo 2
Escolhemos aproximar
(x,y)to(0,0) pela reta
y=x . Para
xneq0 , temos
Logo
Passo 3
Como ao longo da reta
y=x o limite vale
tfrac12 em vez de
0 , concluímos que
não existe (ou, em qualquer caso, não é igual a
h(0,0)=0 ). Portanto
h não é contínua em
(0,0) .
Resposta
A função
h não é contínua em
(0,0) porque, por exemplo,
limxto0h(x,x)=tfrac12neq h(0,0)=0 .