Mostre que a função h(x, y)=ccccx yx^2+y^2 & , & (x, y) & neq(0,0) 0 & , & (x, y) & =(0,0) não é contínua na origem (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
h(x,y)= dfracx,yx^2+y^2,& (x,y)neq(0,0),[6pt] 0,&(x,y)=(0,0),
e pede para mostrar que ela não é contínua em (0,0).
Para isso, lembramos que h seria contínua em (0,0) se e somente se
lim(x,y)to(0,0)h(x,y)=h(0,0)=0
Basta então encontrar uma direção de aproximação cuja limite não seja 0.]

Passo 2

Escolhemos aproximar (x,y)to(0,0) pela reta y=x. Para xneq0, temos
h(x,x) =xcdot xx^2+x^2 =x^22x^2 =12
Logo
limxto0h(x,x)=tfrac12neq0

Passo 3

Como ao longo da reta y=x o limite vale tfrac12 em vez de 0, concluímos que
lim(x,y)to(0,0)h(x,y)
não existe (ou, em qualquer caso, não é igual a h(0,0)=0). Portanto h não é contínua em (0,0).

Resposta

A função h não é contínua em (0,0) porque, por exemplo,
limxto0h(x,x)=tfrac12neq h(0,0)=0.

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