Find and sketch the domain of the function. e a fronteira do domínio.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o domínio (onde a função está definida) e a fronteira desse domínio. O conteúdo principal aqui é saber que o logaritmo natural exige argumento estritamente positivo.
Passo 2
Para
estar definida, precisamos ter
Isto vem diretamente da condição do logaritmo: o que está dentro de
deve ser maior que zero.
Passo 3
Reescrevendo a desigualdade em forma padrão de elipse, temos
Portanto, o domínio é o interior da elipse de semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
).
Passo 4
A fronteira do domínio ocorre quando o argumento do logaritmo chega a zero, isto é,
que é exatamente a curva elíptica que limita a região.
Passo 5
Para esboçar, basta desenhar uma elipse centrada na origem, com interceptos em
e
. O domínio é toda a região interna a essa elipse, sem incluir a fronteira.
Resposta
Domínio:
Fronteira do domínio: