Find and sketch the domain of the function. e a fronteira do domínio.
f(x, y)=\ln \left(9-x^{2}-9 y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\ln\bigl(9 - x^{2} - 9y^{2}\bigr)
e pede o domínio (onde a função está definida) e a fronteira desse domínio. O conteúdo principal aqui é saber que o logaritmo natural exige argumento estritamente positivo.

Passo 2

Para f(x,y) estar definida, precisamos ter
9 - x^{2} - 9y^{2} > 0.
Isto vem diretamente da condição do logaritmo: o que está dentro de \ln(\cdot) deve ser maior que zero.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade em forma padrão de elipse, temos
x^{2} + 9y^{2} < 9 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1.
Portanto, o domínio é o interior da elipse de semi-eixos a=3 (no eixo x) e b=1 (no eixo y).

Passo 4

A fronteira do domínio ocorre quando o argumento do logaritmo chega a zero, isto é,
9 - x^{2} - 9y^{2} = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1,
que é exatamente a curva elíptica que limita a região.

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar uma elipse centrada na origem, com interceptos em (\pm3,0) e (0,\pm1). O domínio é toda a região interna a essa elipse, sem incluir a fronteira.

Resposta

Domínio:
D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \tfrac{x^{2}}{9} + y^{2} < 1\bigr\}.
Fronteira do domínio:
\partial D = \bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid \tfrac{x^{2}}{9} + y^{2} = 1\bigr\}.

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