Let f(x, y, z)-e^{\sqrt{x-x^{2}-y^{2}}}.
(a) Evaluate f(2,-1,6).
(b) Find the domain of f.
(c) Find the range of f.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y,z) = e^{\sqrt{x - x^2 - y^2}}
e pede:
(a) avaliar f(2,-1,6),
(b) determinar o domínio de f,
(c) determinar a imagem (range) de f.
Para isso vamos precisar lembrar que a raiz quadrada só faz sentido para argumentos não negativos e que a função exponencial é crescente.

Passo 2

Para calcular f(2,-1,6) primeiro checamos o que entra na raiz:
x - x^2 - y^2 \Big|_{(x,y)=(2,-1)} = 2 - 2^2 - (-1)^2 = 2 - 4 - 1 = -3.
Como -3<0, a expressão \sqrt{2-4-1} não é real. Logo, o ponto (2,-1,6) não pertence ao domínio de f e
f(2,-1,6)\quad\text{não está definida.}ãá

Passo 3

Para f(x,y,z) estar definida precisamos de
x - x^2 - y^2 \ge 0.
Isso equivale a
y^2 \le x - x^2 = x(1 - x),
e só faz sentido se x(1 - x)\ge0, ou seja 0\le x\le1. Concluímos que o domínio é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 0 \le x \le 1,\; y^2 \le x(1 - x)\bigr\}.

Passo 4

No domínio definimos
t = \sqrt{x - x^2 - y^2}\ge0.
O valor máximo de x - x^2 - y^2 ocorre para y=0 e x=\tfrac12, dando
\max(x - x^2 - y^2)=\tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14,
logo \max t=\sqrt{\tfrac14}=\tfrac12. Como a exponencial é crescente,
f = e^t
varia de e^0=1 até e^{1/2}. Portanto a imagem de f é o intervalo fechado
[\,1,\,e^{1/2}\,].

Resposta

(a) f(2,-1,6) não está definida.
(b) \displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid 0\le x\le1,\;y^2\le x(1-x)\}.
(c) \displaystyle \mathrm{Im}(f)=[\,1,\,e^{1/2}\,].

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