Verify for the Cobb-Douglas production function
P(L, K)=1.01 L^{0.75} K^{0.25}
discussed in Example 3 that the production will be doubled if both the amount of labor and the amount of capital are doubled. Determine whether this is also true for the general production function
P(L, K)-b L^{a} K^{1-a}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção de Cobb–Douglas
P(L,K)=1.01\,L^{0.75}K^{0.25}
e pede para verificar que, se duplicarmos L e K, a produção também se duplica. Em seguida, queremos ver se o mesmo vale para a forma geral
P(L,K)=b\,L^{a}K^{1-a}.
O conteúdo é o conceito de retornos de escala constantes, isto é, funções homogêneas de grau 1.

Passo 2

Para a função específica, calculemos
P(2L,2K) =1.01\,(2L)^{0.75}\,(2K)^{0.25} =1.01\,2^{0.75}\,L^{0.75}\,2^{0.25}\,K^{0.25} =1.01\,2^{0.75+0.25}\,L^{0.75}K^{0.25} =2\cdot\bigl(1.01\,L^{0.75}K^{0.25}\bigr) =2\,P(L,K).
Logo, duplicar os insumos duplica a produção.

Passo 3

Agora para a forma geral, façamos o mesmo cálculo:
P(2L,2K) =b\,(2L)^{a}\,(2K)^{1-a} =b\,2^{a}\,L^{a}\,2^{1-a}\,K^{1-a} =b\,2^{a+(1-a)}\,L^{a}K^{1-a} =2\,\bigl(b\,L^{a}K^{1-a}\bigr) =2\,P(L,K).
Isso mostra que a função é homogênea de grau a+(1-a)=1, ou seja, possui retornos de escala constantes.

Resposta

Duplicar L e K sempre dobra a produção, tanto no caso particular P(L,K)=1.01\,L^{0.75}K^{0.25} quanto na forma geral P(L,K)=b\,L^{a}K^{1-a}.

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