Find and sketch the domain of the function. e a fronteira do domínio.
f(x, y, z)=\ln \left(16-4 x^{2}-4 y^{2}-z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y,z)=\ln\bigl(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2\bigr)
e pede o domínio de f e sua fronteira. Como se trata de um logaritmo natural, precisamos que o argumento seja positivo.

Passo 2

Impondo a condição de existência de \ln:
16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2 > 0.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade em forma padrão de elipsoide:
4x^2 + 4y^2 + z^2 < 16 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} < 1.
Isso mostra que o domínio é o interior do elipsoide centrado na origem, com semi-eixos 2 nos eixos x e y, e 4 no eixo z.

Passo 4

A fronteira do domínio é dada pela igualdade na condição anterior, ou seja, pela superfície elipsoidal
\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} + \frac{z^2}{16} = 1,
que intercepta os eixos nos pontos (\pm2,0,0), (0,\pm2,0) e (0,0,\pm4). Em um esboço, desenha-se esse elipsoide aberto (domínio) e sua casca como fronteira.

Resposta

Domínio:
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 4x^2 + 4y^2 + z^2 < 16\bigr\}.
Fronteira:
\partial D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid 4x^2 + 4y^2 + z^2 = 16\bigr\}.

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