Evaluate \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} / 5^{n}.
Ans. \frac{1}{6}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Calcular a soma da série infinita \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}.
  • A série é infinita, com termos para n=1,2,3,\dots.
  • Alguns termos iniciais (para intuição): \displaystyle n=1\Rightarrow \frac{1}{5},\; n=2\Rightarrow -\frac{1}{25},\; n=3\Rightarrow \frac{1}{125},\dots.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico da soma dessa série?

Passo 2

Identificar a estrutura da série (sem resolver ainda): observar se é uma série geométrica.
  • Uma série geométrica tem a forma \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}, onde a é o primeiro termo e r é a razão comum.
  • Aqui o primeiro termo (para n=1) é
a=\frac{(-1)^{1-1}}{5^{1}}=\frac{1}{5}.
  • A razão r pode ser obtida dividindo o segundo termo pelo primeiro:
r=\frac{\displaystyle -\frac{1}{25}}{\displaystyle \frac{1}{5}}=-\frac{1}{5}.
  • Logo a série é geométrica com a=\dfrac{1}{5} e r=-\dfrac{1}{5}.

Passo 3

Fórmula da soma da série geométrica e condição de convergência — explicação didática.
  • Fórmula para a soma parcial dos primeiros N termos de uma geométrica (prova clássica):
S_{N}=a + a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N-1}.
Multiplicando por r e subtraindo obtemos
r S_{N} = a r + a r^{2} + \cdots + a r^{N},
S_{N}-r S_{N}=a - a r^{N} \quad\Rightarrow\quad S_{N}=a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
  • Para a soma infinita existir (convergir), é necessário que \lim_{N\to\infty} r^{N}=0, o que ocorre exatamente quando |r|<1.
  • Nesse caso, passando ao limite N\to\infty,
\sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{\,n-1}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=a\frac{1-0}{1-r}=\frac{a}{1-r}.

Passo 4

Verificar a condição |r|<1 e aplicar a fórmula ao nosso caso.
  • Aqui \displaystyle r=-\frac{1}{5}, então |r|=\frac{1}{5}<1. Portanto a série converge e a fórmula vale.
  • Aplicando \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a r^{\,n-1}=\dfrac{a}{1-r} com a=\dfrac{1}{5} e r=-\dfrac{1}{5},
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{5^{n}}=\frac{\dfrac{1}{5}}{1-\left(-\dfrac{1}{5}\right)}.

Passo 5

Calcular explicitamente a expressão obtida.
  • O denominador é
1-\left(-\frac{1}{5}\right)=1+\frac{1}{5}=\frac{6}{5}.
  • Portanto
\frac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{6}{5}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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