Evaluate
.
Ans.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Calcular a soma da série infinita
. - A série é infinita, com termos para
. - Alguns termos iniciais (para intuição):
. - A pergunta é: qual é o valor numérico da soma dessa série?
Passo 2
Identificar a estrutura da série (sem resolver ainda): observar se é uma série geométrica.
- Uma série geométrica tem a forma
, onde é o primeiro termo e é a razão comum. - Aqui o primeiro termo (para
) é
- A razão
pode ser obtida dividindo o segundo termo pelo primeiro:
- Logo a série é geométrica com
e .
Passo 3
Fórmula da soma da série geométrica e condição de convergência — explicação didática.
- Fórmula para a soma parcial dos primeiros
termos de uma geométrica (prova clássica):
Multiplicando por
e subtraindo obtemos
- Para a soma infinita existir (convergir), é necessário que
, o que ocorre exatamente quando . - Nesse caso, passando ao limite
,
Passo 4
Verificar a condição
e aplicar a fórmula ao nosso caso.
- Aqui
, então . Portanto a série converge e a fórmula vale. - Aplicando
com e ,
Passo 5
Calcular explicitamente a expressão obtida.
- O denominador é
- Portanto