Identify the type of conic section whose equation is given and find the vertices and foci.
30. 4 x^2+4 x+y^2=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de cônica dada por
4x^2 + 4x + y^2 = 0
e encontrar seus vértices e focos. Para isso, vamos completar o quadrado em x e reescrever em forma padrão.

Passo 2

Começamos completando o quadrado em x:
4x^2 + 4x + y^2 = 4l(x^2+xr)+y^2 =4l[(x+tfrac12)^2-tfrac14r]+y^2 =4(x+tfrac12)^2-1+y^2
Assim a equação fica
4(x+tfrac12)^2-1+y^2=0 Longrightarrow 4(x+tfrac12)^2+y^2=1

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 1, obtemos a forma padrão
(x+tfrac12)^2tfrac14+y^21=1
Isso mostra que é uma elipse centrada em l(-tfrac12,0r).
Os semi-eixos são
b^2=tfrac14, b=tfrac12 (eixo horizontal), a^2=1, a=1 (eixo vertical)

Passo 4

Os vértices ficam a distância a=1 ao longo do eixo maior (vertical), a partir do centro:
V1=l(-tfrac12,,1r), V2=l(-tfrac12,,-1r)

Passo 5

O parâmetro focal satisfaz
c^2=a^2-b^2=1-tfrac14=tfrac34, c=tfracraiz32
Os focos estão no eixo vertical, a c do centro:
F1=l(-tfrac12,,tfracraiz32r), F2=l(-tfrac12,,-tfracraiz32r)

Resposta

É uma elipse de centro l(-tfrac12,0r).
Vértices: l(-tfrac12,1r) e l(-tfrac12,-1r).
Focos: l(-tfrac12,tfracraiz32r) e l(-tfrac12,-tfracraiz32r).

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