Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
33. Parabola, focus (-4,0), directrix x=2

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é F=(-4,0) e cuja diretriz é a reta x=2. Lembrando que, por definição, um ponto (x,y) da parábola satisfaz
distl((x,y),Fr) ;=;distl((x,y),diretrizr)

Passo 2

Seja P=(x,y) um ponto genérico da parábola. A distância de P ao foco é
raiz(x+4)^2 + y^2,
e a distância de P à diretriz x=2 é
l|x-2r|
Pela definição, igualamos essas duas distâncias:
raiz(x+4)^2 + y^2 = |x-2|

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz e o valor absoluto, obtemos
(x+4)^2 + y^2 = (x-2)^2
Agora expandimos e simplificamos:
x^2 + 8x +16 + y^2 = x^2 -4x +4 Longrightarrow 8x +16 + y^2 = -4x +4 Longrightarrow 12x +12 + y^2 = 0

Passo 4

Reescrevendo em forma canônica, isolamos y^2:
y^2 = -12x -12 Long<=ftrightarrow y^2 = -12,(x+1)
Isso mostra que a parábola tem vértice em (-1,0) e abre para a esquerda com parâmetro focal p=-3.

Resposta

A equação da parábola é
boxedy^2 + 12x + 12 = 0

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