Resolva os problemas de valor inicial:
x^2 y^prime prime+x y^prime+9 y=0 ; y(1)=0 ; y^prime(1)=2,5

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial para a equação de Euler–Cauchy
x^2y'' + x,y' + 9,y = 0
com as condições y(1)=0 e y'(1)=2,5. Vamos usar a técnica de tentar uma solução do tipo y=x^m, que leva a uma equação característica de coeficientes constantes.

Passo 2

Assumindo y = x^m temos
y' = m cdot x^m-1, y'' = m(m-1) cdot x^m-2
Substituindo em x^2 y'' + x y' + 9 y = 0, obtemos
m(m-1) x^m + m cdot x^m + 9 cdot x^m = l[m(m-1) + m + 9r] x^m = (m^2 + 9) x^m = 0
Logo a equação característica é
m^2 + 9 = 0 Longrightarrow m = pm 3 i

Passo 3

Como as raízes são complexas m=pm 3,i, a solução geral da equação de Euler–Cauchy é
y(x)=Acosl(3ln xr)+Bsinl(3ln xr),
pois, para raízes alphapm ibeta, a forma geral é x^alpha[C1cos(betaln x)+C2sin(betaln x)], aqui com alpha=0 e beta=3.

Passo 4

Agora aplicamos as condições iniciais.
1. Em x=1 temos ln1=0, então
y(1)=Acos(0)+Bsin(0)=A=0
e segue A=0.
2. Para y'(x) diferenciamos
y'(x) =-A,3xsin(3ln x) + B,3xcos(3ln x)
Com A=0 fica
y'(x)=3Bxcos(3ln x)
Em x=1 isso dá
y'(1)=3Bcdotcos(0)=3B=2,5 Longrightarrow B=2,53=56

Passo 5

Substituindo A=0 e B=tfrac56 na solução geral, obtemos
y(x)=56,sinl(3ln xr)

Resposta

y(x)=56,sinl(3ln xr)

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