Resolva os problemas de valor inicial:
x^2 y^prime prime-4 x y^prime+6 y=0 ; y(1)=0,4 ; y^prime(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy
x^2y'' - 4x,y' + 6y = 0
com as condições iniciais y(1)=0,4 e y'(1)=0. Para equações do tipo x^2y'' + ax,y' + by=0 usamos a ansatz y=x^m.

Passo 2

Supondo y=x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação original:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] -4xl[mx^m-1r] +6x^m = 0 ;implies; m(m-1) -4m +6 = 0

Passo 3

A equação indicial fica
m^2 - m -4m +6 = 0 ;Longrightarrow; m^2 -5m +6 = 0 ;Longrightarrow; (m-2)(m-3)=0
Logo as raízes são m1=2 e m2=3, e a solução geral é
y(x) = C1,x^2 + C2,x^3

Passo 4

Calculamos a derivada para impor as condições iniciais:
y'(x) = 2C1,x + 3C2,x^2
Em x=1 as condições geram o sistema
y(1)=C1+C2=0,4,
y'(1)=2C1+3C2=0

Passo 5

Resolvendo
C1+C2=0,4, 2C1+3C2=0,
da segunda equação isolamos C2=-0,8 e, na primeira, C1=0,4-(-0,8)=1,2.

Passo 6

Substituindo C1=1,2 e C2=-0,8 na solução geral, obtemos a solução particular do problema inicial:
y(x) = 1,2,x^2 ;-;0,8,x^3

Resposta

y(x) = 1,2,x^2 - 0,8,x^3

Exercícios relacionados