Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
36. Parabola, horizontal axis, passing through (-1,0),(1,-1), and (3,1)

Passo 1

O enunciado pede a parábola com eixo paralelo ao eixo x (eixo horizontal) que passa por (-1,0), (1,-1) e (3,1).
Para uma parábola de eixo horizontal usamos a forma canônica
(y - k)^2 ;=; 4p,(x - h),
onde (h,k) é o vértice e p é a distância focopréplice.

Passo 2

Substituímos cada ponto na forma (y-k)^2=4p(x-h):
  1. Para (-1,0):
(0 - k)^2 = 4p,(-1 - h) Longrightarrow k^2 = 4p,(-1 - h)
  1. Para (1,-1):
(-1 - k)^2 = 4p,(1 - h)
  1. Para (3,1):
(1 - k)^2 = 4p,(3 - h)

Passo 3

Da segunda e terceira equações, fazemos a diferença para eliminar h:
4p,(3 - h);-;4p,(1 - h) ;=;(1 - k)^2 ;-;(-1 - k)^2
No lado direito
(1 - k)^2 - (k+1)^2 = -4k,
e no lado esquerdo
4pl[(3-h)-(1-h)r] = 4pcdot 2 = 8p
Logo
8p = -4k Longrightarrow p = -k2

Passo 4

Agora usemos, por exemplo, a equação de (-1,0):
k^2 = 4p,(-1 - h) =4l(-tfrack2r)(-1-h) =-2k,(-1-h) =2k(1+h)
Se kneq 0, divide-se por 2k:
k^22k = 1+h Longrightarrow k2=1+h Longrightarrow h = k2-1
Por outro lado, usando a equação de (1,-1):
(-1-k)^2 = 4p,(1-h) =(4!cdot!-tfrack2)(1-h) =-2k,(1-h),
logo
1-h = -(1+k)^22k Longrightarrow h = 1 + (1+k)^22k
Igualando as duas expressões de h:
k2-1 = 1 + (1+k)^22k ;;Longrightarrow;; -6k - 1 = 0 ;;Longrightarrow;; k = -16
Então
p = -k2 = 112, h = k2-1 = -1312

Passo 5

Substituindo em (y-k)^2=4p(x-h), temos
l(y + tfrac16r)^2 =4!cdot!112,l(x + tfrac1312r) =13,l(x + tfrac1312r)
Multiplicando ambos os lados por 3 e rearranjando, chega-se à forma mais simples
x = 3y^2 + y - 1

Resposta

A equação da parábola é
boxedx = 3y^2 + y - 1

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