Resolva os problemas de valor inicial:
x^2 y^prime prime-x y^prime-15 y=0 ; y(1)=0.1 ; y^prime(1)=4,5

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
x^2y'' - x y' -15y = 0, y(1)=0,1, y'(1)=4,5
Este é um EQUAÇÃO DE EULER–CAUCHY de segunda ordem, em que procuramos soluções do tipo y=x^m.

Passo 2

Assumimos a forma y=x^m. Então
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo na equação:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] ;-; xl[m,x^m-1r] ;-;15,x^m = 0
Fatorando x^m (diferente de zero para xneq0), obtemos a equação característica.

Passo 3

A equação característica fica
m(m-1) - m - 15 = 0 Longrightarrow m^2 -2m -15 = 0
Resolvendo por fórmula de Bhaskara:
m = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm 82 ;Longrightarrow; m1 = 5, m2 = -3
Logo, a solução geral é
y(x) = C1,x^5 + C2,x^-3

Passo 4

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Em
Da primeira equação .

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x) = 0,6,x^5 ;-;0,5,x^-3

Resposta

boxedy(x)=0,6,x^5-0,5,x^-3

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