Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
43. Hyperbola, vertices ( pm 3,0), foci ( pm 5,0)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com vértices em (pm3,0) e focos em (pm5,0). Isso indica que o centro está em (0,0) e que o eixo transverso é horizontal, de modo que a forma canônica é
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1

Passo 2

Na forma canônica da hipérbole horizontal, a é a distância do centro aos vértices e c é a distância do centro aos focos. Aqui,
a = 3, c = 5
Para hipérbole temos a relação
c^2 ;=; a^2 + b^2

Passo 3

Substituindo a e c na relação c^2 = a^2 + b^2, obtemos
5^2 = 3^2 + b^2 Longrightarrow 25 = 9 + b^2 Longrightarrow b^2 = 16

Passo 4

Agora que a^2 = 9 e b^2 = 16, escrevemos a equação canônica:
x^29 ;-;y^216 ;=;1

Resposta

x^29 ;-;y^216 ;=;1

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