Um tanque de armazenamento de metal com volume V=418 deve ser construído com a forma de um cilindro circular reto com um hemisfério acoplado ao topo do cilindro. Determine menor quantidade de metal, isto é, obtenha a menor área possível para se construir esse tanque com o volume estabelecido. Escreva na lacuna abaixo sua resposta com duas casas decimais. Use pi=3,14.

Passo 1

O enunciado pede: para um tanque com volume fixo
V = 418
feito de um cilindro (raio r, altura h) mais um hemisfério no topo, determinar os valores de r e h que minimizam a área de metal necessária. O conteúdo aqui é otimização com restrição: vamos modelar o volume e a área total em função de r e h, eliminar h pela condição V=418 e então minimizar a área em função de uma única variável r.

Passo 2

Expressar o volume total V e a área total S.
O volume do cilindro é pi r^2 h e do hemisfério é tfrac23pi r^3. Logo,
pi r^2 h + 23,pi r^3 = 418
A área externa necessária cobre a lateral do cilindro ( 2pi r h), a base circular do cilindro ( pi r^2) e a superfície do hemisfério ( 2pi r^2). Assim,
S = 2pi r h + pi r^2 + 2pi r^2 = 2pi r h + 3pi r^2

Passo 3

Isolar h da equação do volume:
pi r^2 h = 418 - 23,pi r^3 Longrightarrow h = 418pi r^2 ;-; 23,r

Passo 4

Substituir h em S para obter S(r) e derivar:
S(r) = 2pi rl(418pi r^2-23rr)+3pi r^2 = 836r + 53,pi r^2
Derivando e fixando zero,
S'(r) = -836r^2 + 103,pi r = 0 Longrightarrow 103,pi,r^3 = 836 Longrightarrow r^3 = 836cdot310pi

Passo 5

Com pi=3,14,
r^3 = 250810cdot3,14 approx 79,874 Longrightarrow r approx 4,31
Então
h = 4183,14,(4,31)^2 - 23,(4,31) approx 4,31
A área mínima fica
Smin = 2pi r h + 3pi r^2 approx 2cdot3,14cdot4,31cdot4,31 ;+;3cdot3,14cdot(4,31)^2 approx 291,23

Resposta

291,23

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