Um tanque de armazenamento de metal com volume
deve ser construído com a forma de um cilindro circular reto com um hemisfério acoplado ao topo do cilindro. Determine menor quantidade de metal, isto é, obtenha a menor área possível para se construir esse tanque com o volume estabelecido. Escreva na lacuna abaixo sua resposta com duas casas decimais. Use
.
Passo 1
O enunciado pede: para um tanque com volume fixo
feito de um cilindro (raio
, altura
) mais um hemisfério no topo, determinar os valores de
e
que minimizam a área de metal necessária. O conteúdo aqui é otimização com restrição: vamos modelar o volume e a área total em função de
e
, eliminar
pela condição
e então minimizar a área em função de uma única variável
.
Passo 2
Expressar o volume total
e a área total
.
O volume do cilindro é e do hemisfério é
. Logo,
O volume do cilindro é
A área externa necessária cobre a lateral do cilindro (
), a base circular do cilindro (
) e a superfície do hemisfério (
). Assim,
Passo 3
Isolar
da equação do volume:
Passo 4
Substituir
em
para obter
e derivar:
Derivando e fixando zero,
Passo 5
Com
,
Então
A área mínima fica
Resposta
291,23