Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos em
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é aberto em
. O conteúdo envolve noções de topologia em
, em particular a definição de conjunto aberto via bolas abertas.
Passo 2
Recordando a definição: um conjunto
é aberto se, para todo ponto
, existe um raio
tal que a bola aberta
está inteiramente contida em
.
Passo 3
Analisemos um ponto genérico
com soma estritamente maior que 1, ou seja,
. Defina
Se
, então em particular
e
. Logo
Isso mostra que
, ou seja, todo ponto com
é interior.
Passo 4
Considere agora um ponto
da fronteira, onde
. Qualquer bola
(para
) contém pontos cuja soma das coordenadas é menor que 1, e estes não pertencem a
. Como esses pontos de fronteira estão em
(a desigualdade é “
”), eles não têm uma vizinhança toda dentro de
. Logo não são pontos interiores.
Resposta
O conjunto
não é aberto em
.