Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos em R^2.
(x, y) in R^2: x+y >= 1

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
A = (x,y)inR^2 : x + y >= 1
é aberto em R^2. O conteúdo envolve noções de topologia em R^2, em particular a definição de conjunto aberto via bolas abertas.

Passo 2

Recordando a definição: um conjunto UsubsetR^2 é aberto se, para todo ponto pin U, existe um raio varepsilon>0 tal que a bola aberta
B(p,varepsilon)=qinR^2 : |q-p|<varepsilon
está inteiramente contida em U.

Passo 3

Analisemos um ponto genérico p=(x0,y0)in A com soma estritamente maior que 1, ou seja, x0+y0>1. Defina
de<a = x0+y0 - 12 > 0
Se | (x,y) - (x0,y0)| < de<a, então em particular
|x - x0| < de<a e |y - y0| < de<a. Logo
x + y = x0 + y0 + (x - x0) + (y - y0) > (x0+y0) - |x - x0| - |y - y0| > (x0+y0) - 2de<a =1
Isso mostra que Bl((x0,y0),de<ar)subset A, ou seja, todo ponto com x0+y0>1 é interior.

Passo 4

Considere agora um ponto p=(x0,y0) da fronteira, onde x0+y0=1. Qualquer bola B(p,varepsilon) (para varepsilon>0) contém pontos cuja soma das coordenadas é menor que 1, e estes não pertencem a A. Como esses pontos de fronteira estão em A (a desigualdade é “ >=”), eles não têm uma vizinhança toda dentro de A. Logo não são pontos interiores.

Resposta

O conjunto (x,y)inR^2 : x+y>=1 não é aberto em R^2.

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