Find an equation for the conic that satisfies the given conditions.
44. Hyperbola, vertices (0, pm 2), foci (0, pm 5)

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma hipérbole com vértices em (0,pm2) e focos em (0,pm5). Como os vértices e focos têm x=0, o eixo transverso é vertical e o centro é o ponto médio dos vértices, que é (0,0). A forma padrão dessa hipérbole é
(y-0)^2a^2 - (x-0)^2b^2 = 1

Passo 2

Dos vértices (0,pm2) extraímos a. Por definição, a é a distância do centro até cada vértice, logo
a = 2

Passo 3

Dos focos (0,pm5) extraímos c. Por definição, c é a distância do centro até cada foco, logo
c = 5

Passo 4

Na hipérbole vertical vale a relação
c^2 = a^2 + b^2
Substituindo a e c:
5^2 = 2^2 + b^2 Longrightarrow 25 = 4 + b^2 Longrightarrow b^2 = 21

Passo 5

Agora substituímos a^2=4 e b^2=21 na forma padrão:
y^24 - x^221 = 1

Resposta

y^24 - x^221 = 1

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