Resolva as equações.
(a)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = x+yx-y
Este tipo de equação é homogênea de grau zero, pois a função do lado direito depende apenas da razão y/x. Vamos usar a substituição y = v x, em que v é função de x.

Passo 2

Fazendo y = v x temos
dydx = v + xdvdx
Substituindo na equação original,
v + xdvdx = x + vxx - vx = 1 + v1 - v

Passo 3

Isolando dvdx:
xdvdx = 1 + v1 - v - v = 1 + v - v(1 - v)1 - v = 1 + v^21 - v,
portanto
dvdx = 1 + v^2x,(1 - v)

Passo 4

Separamos variáveis:
integral 1 - v1 + v^2,dv = integral dxx

Passo 5

Calculamos cada integral. Decompomos
1 - v1 + v^2 = 11 + v^2 - v1 + v^2
Logo,
integral 1 - v1 + v^2,dv = integral 11 + v^2,dv - integral v1 + v^2,dv = arctan(v) - 12 lnl(1 + v^2r)
Do outro lado temos
integral dxx = lnlvert xrvert + C
Portanto
arctan(v) - tfrac12 lnl(1 + v^2r) = lnlvert xrvert + C

Passo 6

Voltando à variável original y, note que v = tfracyx e
lnl(1 + v^2r) = ln!l(tfracx^2 + y^2x^2r) = ln(x^2 + y^2) - 2lnlvert xrvert
Substituindo,
arctan!l(yxr) - tfrac12l[ln(x^2+y^2)-2lnlvert xrvertr] = lnlvert xrvert + C
Os termos lnlvert xrvert se cancelam, restando
arctan!l(yxr) - tfrac12 lnl(x^2+y^2r) = C

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
2,arctan!l(yxr) - lnl(x^2 + y^2r) = C,
onde C é constante de integração.

Exercícios relacionados