Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante t seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade lambda=alpha-beta, sendo alpha o coeficiente de natalidade e beta o de mortalidade. Desse modo, a variação da população p=p(t) é regida pela equação diferencial linear
d pd t=lambda p
Suponha que a população no instante t=0 seja p0.
(a) O que acontece com a população se alpha= beta ?
(b) Sendo alpha neq beta, determine a população no instante t.
(c) O que acontecerá com a população se alpha> beta ? E se for alpha<beta ?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo de variação populacional dado pela equação diferencial linear\r
d pd t = lambda,p\r
com lambda = alpha - beta e condição inicial p(0)=p0. O conteúdo é resolução de ODE de crescimento/decadência exponencial, usando separação de variáveis e análise de sinais de lambda.

Passo 2

Se alpha=beta então lambda=alpha-beta=0, e a equação torna-se\r
d pd t=0\r
Isso implica que a derivada é nula em todo instante, logo a população permanece constante igual a p0.

Passo 3

Para alphaneqbeta temos lambdaneq0. Usamos separação de variáveis:\r
dpp=lambda,dt\r
Integrando ambos os lados:\r
integraldpp=integrallambda,dtLongrightarrow ln p = lambda t + C\r
Exponenciando e ajustando a condição inicial p(0)=p0 dá\r
p(t)=p0e^lambda t=p0e^(alpha-beta)t

Passo 4

O comportamento da população depende do sinal de lambda=alpha-beta:\r
  • Se alpha>beta então lambda>0 e p(t)=p0e^lambda t cresce exponencialmente. \r
  • Se alpha<beta então lambda<0 e p(t)=p0e^lambda t decai exponencialmente, tendendo a zero.

Resposta

(a) Se alpha=beta, a população fica constante em p(t)=p0.
(b) Para alphaneqbeta, \r
p(t)=p0e^(alpha-beta)t \r
(c) Se alpha>beta, há crescimento exponencial; se alpha<beta, há decaimento exponencial (população tende a zero).

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