Há um modelo para variação populacional em que se supõe que a taxa de variação da população no instante
seja proporcional à população
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
, sendo
o coeficiente de natalidade e
o de mortalidade. Desse modo, a variação da população
é regida pela equação diferencial linear
Suponha que a população no instante
seja
.
(a) O que acontece com a população se
?
(b) Sendo
, determine a população no instante
.
(c) O que acontecerá com a população se
? E se for
?
neste instante, com coeficiente de proporcionalidade
(a) O que acontece com a população se
(b) Sendo
(c) O que acontecerá com a população se
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo de variação populacional dado pela equação diferencial linear\r
com
e condição inicial
. O conteúdo é resolução de ODE de crescimento/decadência exponencial, usando separação de variáveis e análise de sinais de
.
Passo 2
Se
então
, e a equação torna-se\r
Isso implica que a derivada é nula em todo instante, logo a população permanece constante igual a
.
Passo 3
Para
temos
. Usamos separação de variáveis:\r
Integrando ambos os lados:\r
Exponenciando e ajustando a condição inicial
dá\r
Passo 4
O comportamento da população depende do sinal de
:\r
- Se
então e cresce exponencialmente. \r - Se
então e decai exponencialmente, tendendo a zero.
Resposta
(a) Se
, a população fica constante em
.
(b) Para , \r
(b) Para
(c) Se
, há crescimento exponencial; se
, há decaimento exponencial (população tende a zero).