Find d y / d x.
2. x=1 / t, y=raizt e^-t

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 1t, y = raizt,e^-t
e pede dfracdydx. Vamos usar a fórmula de derivada para parametrizações:
dydx = dfracdydtdfracdxdt

Passo 2

Calculamos dfracdxdt. Como x = t^-1,
dxdt = -1 cdot t^-2 = -,t^-2

Passo 3

Agora dfracdydt. Como y = t^1/2e^-t, aplicamos a regra do produto:
dydt = ddtl(t^1/2r),e^-t + t^1/2,ddtl(e^-tr) = 12t^-1/2e^-t - t^1/2e^-t = e^-tl(12,t^1/2 - t^1/2r)

Passo 4

Usamos dfracdydx = dfracdy/dtdx/dt:
dydx = e^-tl(tfrac12,t^1/2 - t^1/2r)-t^-2 = -,t^2,e^-tl(12,t^1/2 - t^1/2r)
Simplificando dentro do parêntese:
t^2l(12,t^1/2 - t^1/2r) = t^3/22 - t^5/2,
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dydx = -,e^-tl(t^3/22 - t^5/2r) = e^-t,t^3/2,(t - tfrac12)

Passo 5

Se quisermos em função de x, note que t = 1/x, então
t^3/2 = x^-3/2, e^-t = e^-1/x, t - tfrac12 = 1x - 12
Assim
dydx = x^-3/2e^-1/xl(1x-tfrac12r) = e^-1/xx^3/2l(1x-12r)

Resposta

dydx = e^-t,t^3/2l(t-tfrac12r) ou dydx = e^-1/xx^3/2l(1x-tfrac12r)

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