Find \nabla f at the given point.
f(x, y, z)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1 / 2}+\ln (x y z), \quad(-1,2,-2)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente da função
f(x,y,z) = (x^2+y^2+z^2)^{-1/2} + \ln(xyz)
no ponto (-1,2,-2).
O conteúdo aqui é cálculo do gradiente de uma função de três variáveis, ou seja, usar derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, escrevemos as derivadas parciais de cada termo. Seja
r = \sqrt{x^2+y^2+z^2},
então o primeiro termo é r^{-1}. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(r^{-1}\bigr) = -1\cdot r^{-2}\,\frac{\partial r}{\partial x} = -r^{-2}\,\frac{x}{r} = -\frac{x}{r^3}.
Analogamente para y e z. Para o segundo termo,
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\ln(xyz)\bigr) = \frac1{x},\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(\ln(xyz)\bigr) = \frac1{y},\quad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(\ln(xyz)\bigr) = \frac1{z}.
Assim, em termos gerais,
\nabla f(x,y,z) = \begin{pmatrix} -\dfrac{x}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \dfrac1{x}\\[6pt] -\dfrac{y}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \dfrac1{y}\\[6pt] -\dfrac{z}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}} + \dfrac1{z} \end{pmatrix}.]

Passo 3

Agora avaliamos em (x,y,z)=(-1,2,-2). Primeiro
r = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3, \quad r^3 = 27.
Para cada componente:
– Componente x:
-\frac{x}{r^3} + \frac1{x} = -\frac{-1}{27} + \bigl(-1\bigr) = \frac1{27} - 1 = -\frac{26}{27}.
– Componente y:
-\frac{y}{r^3} + \frac1{y} = -\frac{2}{27} + \frac12 = -\frac{2}{27} + \frac{27}{54} = \frac{23}{54}.
– Componente z:
-\frac{z}{r^3} + \frac1{z} = -\frac{-2}{27} + \bigl(-\tfrac12\bigr) = \frac{2}{27} - \frac12 = -\frac{23}{54}.

Resposta

\nabla f(-1,2,-2) = \biggl(-\tfrac{26}{27},\;\tfrac{23}{54},\;-\tfrac{23}{54}\biggr).

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