Find \nabla f at the given point.
f(x, y, z)=e^{x+y} \cos z+(y+1) \sin ^{-1} x, \quad(0,0, \pi / 6)

Passo 1

O enunciado pede o gradiente de
f(x,y,z)=e^{x+y}\cos z+(y+1)\arcsin x
no ponto (0,0,\pi/6).
Vamos usar derivadas parciais:
\nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z) e depois avaliar em (0,0,\pi/6).

Passo 2

Calculamos a derivada parcial em relação a x. Para
\displaystyle e^{x+y}\cos z vem e^{x+y}\cos z, e para
\displaystyle (y+1)\arcsin x vem (y+1)/\sqrt{1-x^2}. Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y}\cos z + \frac{y+1}{\sqrt{1-x^2}}.
Avaliando em (0,0,\pi/6):
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0,\tfrac{\pi}{6}) =1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{1} =\frac{\sqrt{3}}{2}+1.

Passo 3

Calculamos a derivada parcial em relação a y. Para
\displaystyle e^{x+y}\cos z vem e^{x+y}\cos z, e para
\displaystyle (y+1)\arcsin x vem \arcsin x. Logo,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{x+y}\cos z + \arcsin x.
Avaliando em (0,0,\pi/6):
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0,\tfrac{\pi}{6}) =1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 0 =\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calculamos a derivada parcial em relação a z. Apenas o primeiro termo depende de z, dando
\frac{\partial f}{\partial z} = -\,e^{x+y}\sin z.
Avaliando em (0,0,\pi/6):
\frac{\partial f}{\partial z}(0,0,\tfrac{\pi}{6}) = -1\cdot\frac{1}{2} =-\frac{1}{2}.

Resposta

\nabla f(0,0,\tfrac{\pi}{6}) =\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}+1,\;\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;-{\tfrac12}\Bigr).

Exercícios relacionados