Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
f(x, y)=2 x y-3 y^{2}, \quad P_{0}(5,5), \quad \mathbf{A}=4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2xy-3y^2 no ponto P_0=(5,5) na direção do vetor \mathbf{A}=4\mathbf{i}+3\mathbf{j}. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional: primeiro calculamos o gradiente \nabla f, depois avaliamos em P_0 e projetamos esse gradiente sobre o vetor unitário na direção de \mathbf{A}.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f pelas derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=2y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=2x-6y.
Logo,
\nabla f(x,y)=(2y,\;2x-6y).

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P_0=(5,5):
\nabla f(5,5)=(2\cdot5,\;2\cdot5-6\cdot5)=(10,\;-20).

Passo 4

Encontramos a norma de \mathbf{A} e o vetor unitário \mathbf{u}:
\|\mathbf{A}\|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5, \quad \mathbf{u}=\frac{1}{5}(4,3)=\Bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional é dado pelo produto escalar \nabla f(5,5)\cdot\mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}f(5,5) =(10,\,-20)\cdot\Bigl(\tfrac{4}{5},\tfrac{3}{5}\Bigr) =10\cdot\tfrac{4}{5}+(-20)\cdot\tfrac{3}{5} =8-12=-4.

Resposta

A derivada de f em P_0 na direção de \mathbf{A} é -4.

Exercícios relacionados