Find the derivative of the function at P_{0} in the direction of \mathbf{A}.
f(x, y)=2 x^{2}+y^{2}, \quad P_{0}(-1,1), \quad \mathbf{A}=3 \mathbf{i}-4 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=2x^2+y^2 no ponto P_0=(-1,1) na direção do vetor \mathbf{A}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j}. Para isso precisamos encontrar o gradiente de f, avaliá-lo em P_0, obter o vetor unitário na direção de \mathbf{A} e fazer o produto escalar.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como
f(x,y)=2x^2+y^2,
temos
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(4x,2y).

Passo 3

Avaliamos o gradiente em P_0=(-1,1):
\nabla f(-1,1)=(4\cdot(-1),\,2\cdot1)=(-4,2).

Passo 4

Calculamos o módulo de \mathbf{A}:
\|\mathbf{A}\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=\sqrt{9+16}=5.
O vetor unitário em direção a \mathbf{A} é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{A}}{\|\mathbf{A}\|}=\Bigl(\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\Bigr).

Passo 5

A derivada direcional de f em P_0 ao longo de \mathbf{A} é o produto escalar
\mathrm{D}_{\mathbf{u}}f =\nabla f(-1,1)\cdot\mathbf{u} =(-4,2)\cdot\Bigl(\tfrac{3}{5},-\tfrac{4}{5}\Bigr) =-4\cdot\tfrac{3}{5}+2\cdot\bigl(-\tfrac{4}{5}\bigr) =-\tfrac{12}{5}-\tfrac{8}{5} =-4.

Resposta

-4

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