(a) Find parametric equations for the ellipse
. [Hint: Modify the equations of the circle in Example 2.]
(b) Use these parametric equations to graph the ellipse when
and
, and 8 .
(b) Use these parametric equations to graph the ellipse when
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar equações paramétricas para a elipse
e (b) usar essas equações para desenhar a elipse quando
e
.
O conteúdo é representação paramétrica de curvas planas, usando o fato de que o círculo unitário tem parametrização por cosseno e seno, e depois “esticando” esse círculo pelos fatores e
.
O conteúdo é representação paramétrica de curvas planas, usando o fato de que o círculo unitário tem parametrização por cosseno e seno, e depois “esticando” esse círculo pelos fatores
Passo 2
Começamos lembrando que o círculo unitário
é dado por
Para obter a elipse
basta alongar o eixo
em
e o eixo
em
. Logo a parametrização fica
Passo 3
Agora substituímos
e variamos
. Para cada caso, o gráfico é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical igual a
.
Para :
Para
Interseções:
e
.
Para :
Para
Interseções:
e
.
Para :
Para
Interseções:
e
.
Para :
Para
Interseções:
e
.
Resposta
a) As equações paramétricas são
b) Para
e
–elipse com semi-eixos
e
.
–semi-eixos
e
.
–semi-eixos
e
.
–semi-eixos
e
.