(a) Find parametric equations for the ellipse x^2 / a^2+y^2 / b^2=1. [Hint: Modify the equations of the circle in Example 2.]
(b) Use these parametric equations to graph the ellipse when a=3 and b=1,2,4, and 8 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar equações paramétricas para a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
e (b) usar essas equações para desenhar a elipse quando a=3 e b=1,2,4,8.
O conteúdo é representação paramétrica de curvas planas, usando o fato de que o círculo unitário tem parametrização por cosseno e seno, e depois “esticando” esse círculo pelos fatores a e b.

Passo 2

Começamos lembrando que o círculo unitário
x^2+y^2=1
é dado por
x=cos t, y=sin t, 0<= t<2pi
Para obter a elipse
x^2a^2+y^2b^2=1
basta alongar o eixo x em a e o eixo y em b. Logo a parametrização fica
x=acos t, y=bsin t, 0<= t<2pi

Passo 3

Agora substituímos a=3 e variamos b. Para cada caso, o gráfico é uma elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical igual a b.
Para b=1:
x=3cos t, y=1sin t, 0<= t<2pi
Interseções: (pm3,0) e (0,pm1).
Para b=2:
x=3cos t, y=2sin t, 0<= t<2pi
Interseções: (pm3,0) e (0,pm2).
Para b=4:
x=3cos t, y=4sin t, 0<= t<2pi
Interseções: (pm3,0) e (0,pm4).
Para b=8:
x=3cos t, y=8sin t, 0<= t<2pi
Interseções: (pm3,0) e (0,pm8).

Resposta

a) As equações paramétricas são
x=acos t, y=bsin t, 0<= t<2pi
b) Para a=3 e
,b=1:;x=3cos t,;y=sin t–elipse com semi-eixos 3 e 1.
,b=2:;x=3cos t,;y=2sin t–semi-eixos 3 e 2.
,b=4:;x=3cos t,;y=4sin t–semi-eixos 3 e 4.
,b=8:;x=3cos t,;y=8sin t–semi-eixos 3 e 8.

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