Find parametric equations for the path of a particle that moves along the circle x^2+(y-1)^2=4 in the manner described.
(a) Once around clockwise, starting at (2,1)
(b) Three times around counterclockwise, starting at (2,1)

Passo 1

O enunciado pede equações paramétricas para a partícula que se move ao longo do círculo
x^2+(y-1)^2=4
que é um círculo de raio 2 centrado em (0,1). Precisamos controlar a orientação (horário ou anti-horário), o número de voltas e garantir que, em t=0, o ponto seja (2,1).

Passo 2

Uma parametrização padrão anti-horária de um círculo de raio
com a . Note que em temos e, ao aumentar , o ângulo cresce no sentido anti-horário.

Passo 3

Para fazer o percurso no sentido horário basta inverter o sinal do parâmetro dentro do seno (ou usar
Em e, à medida que vai de a , percorremos o círculo uma vez no sentido horário.

Passo 4

Para percorrer três vezes o círculo no sentido anti-horário, podemos usar a parametrização padrão mas estender o intervalo de
Em e, ao levar até , fazemos três voltas completas anti-horárias.

Resposta

(a)
x(t) = 2cos(t), y(t) = 1 - 2sin(t), 0 <= t <= 2pi
(b)
x(t) = 2cos(t), y(t) = 1 + 2sin(t), 0 <= t <= 6pi

Exercícios relacionados