Sendo f(x)=sen x, mostre que f^prime(x)=cos x, fazendo uso da fórmula
sen p-sen q=2 sen p-q2 cos p+q2
para calcular o limite de
De<a fDe<a x=f(x+De<a x)-f(x)De<a x=sen(x+De<a x)-sen xDe<a x
quando De<a x 0.

Passo 1

Temos a função f(x)=sen x e queremos calcular a derivada pelo seu quociente incremental
f'(x)=limDe<a xto0f(x+De<a x)-f(x)De<a x =limDe<a xto0sen(x+De<a x)-sen xDe<a x
Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica
sen p - sen q = 2,senp-q2,cosp+q2
e os limites fundamentais
limhto0sen hh=1 e limhto0cos h=1

Passo 2

Aplicando a identidade ao numerador com p=x+De<a x e q=x, obtemos
sen(x+De<a x)-sen x =2,sen(x+De<a x)-x2,cos(x+De<a x)+x2 =2,senDe<a x2,cosl(x+De<a x2r)
Logo o quociente fica
sen(x+De<a x)-sen xDe<a x =2,senDe<a x2,cosl(x+tfracDe<a x2r)De<a x

Passo 3

Reescrevemos o fator que envolve De<a x:
2,senDe<a x2De<a x =senDe<a x2De<a x2 (pois (2/De<a x=1/(De<a x/2)))
Portanto
sen(x+De<a x)-sen xDe<a x =senDe<a x2De<a x2;cosl(x+tfracDe<a x2r)

Passo 4

Fazendo De<a xto0, temos
limDe<a xto0senDe<a x2De<a x2=1 e limDe<a xto0cosl(x+tfracDe<a x2r)=cos x
Logo
f'(x) =limDe<a xto0sen(x+De<a x)-sen xDe<a x =1cdotcos x =cos x

Resposta

f'(x)=cos x

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