Find parametric equations for the tangent line to the curve with the given parametric equations at the specified point.
x=ln (t+1), y=t cos 2 t, z=2^t ; (0,0,1)

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x=ln(t+1), y=tcos(2t), z=2^t
e pede as equações paramétricas da reta tangente no ponto (0,0,1).
Conteúdo: reta tangente a curva paramétrica, que se obtém pelo ponto dado e pelo vetor velocidade l(x'(t0),y'(t0),z'(t0)r).

Passo 2

Encontrar o valor de t0 tal que
ln(t0+1)=0, t0cos(2t0)=0, 2^t0=1
Da primeira equação ln(t0+1)=0 vem t0+1=1, logo t0=0. Isso satisfaz também y(0)=0 e z(0)=1.

Passo 3

Calcular as derivadas:
dxdt=1t+1, dydt=ddtl(tcos(2t)r)=cos(2t)-2tsin(2t), dzdt=2^tln 2

Passo 4

Avaliar em t0=0:
x'(0)=1, y'(0)=cos0-0=1, z'(0)=2^0ln2=ln2
Então o vetor direção da reta tangente é (1,1,ln2).

Passo 5

Escrevendo a reta com parâmetro s, a partir do ponto (0,0,1) e vetor direção (1,1,ln2), temos
x(s)=0+1cdot s=s, y(s)=0+1cdot s=s, z(s)=1+(ln2),s

Resposta

boxedx=s, y=s, z=1+(ln2),s

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