Calcular a solução geral das seguintes E.D.O. (use o método de “coeficientes a determinar” para a solução particular)
y^prime prime-y^prime+y=x^3+6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea
y'' - y' + y = x^3 + 6,
usando o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. Vamos primeiro achar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular polinomial de grau 3.

Passo 2

Para a parte homogênea
y'' - y' + y = 0
consideramos a equação característica
r^2 - r + 1 = 0
As raízes são
r = 1 pm iraiz32
Isso dá a solução geral homogênea
yc(x) = e^x/2l(C1cosl(tfracraiz32xr)+C2sinl(tfracraiz32xr)r)

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é x^3+6, tentamos uma solução particular polinomial de mesmo grau:
yp(x)=Ax^3+Bx^2+Cx+D

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'(x)=3Ax^2+2Bx+C,
yp''(x)=6Ax+2B

Passo 5

Substituímos em y''-y'+y e agrupamos termos em potências de x:
yp''-yp'+yp =(6Ax+2B)-(3Ax^2+2Bx+C)+(Ax^3+Bx^2+Cx+D)
Isso resulta em
Ax^3 + (B-3A)x^2 + (6A-2B+C)x + (2B-C+D)

Passo 6

Igualamos a expressão acima a x^3+0x^2+0x+6, obtendo o sistema
A = 1, B - 3A = 0, 6A - 2B + C = 0, 2B - C + D = 6
Resolvendo:
A=1, B=3, C=0, D=0
Logo
yp(x)=x^3+3x^2

Passo 7

A solução geral da E.D.O. é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=yc(x)+yp(x) =e^x/2l(C1cosl(tfracraiz32xr)+C2sinl(tfracraiz32xr)r) + x^3+3x^2

Resposta

y(x)=e^x/2l(C1cosl(tfracraiz32xr)+C2sinl(tfracraiz32xr)r) + x^3+3x^2

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