Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
f(t)=\frac{(t-a)^{2}}{t-b}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(t)=\frac{(t-a)^{2}}{t-b}.
Informações dadas:
  • a e b são constantes (parâmetros).
  • A variável é t.
  • A tarefa é calcular f'(t), a derivada de f em relação a t.
  • Observação de domínio: a função (e sua derivada) só estão definidas quando t\neq b (pois há divisão por t-b).

Passo 2

Escolha do método. Vou reescrever a função como produto, porque assim usamos regras bem básicas (regra do produto e regra da cadeia/potência), que são fáceis de aplicar sem muita bagunça:
f(t)=(t-a)^{2}\,(t-b)^{-1}.
Alternativa possível seria aplicar diretamente a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado. Escolhi escrever como produto porque permite aplicar a regra do produto + potência de forma direta e bem didática.

Passo 3

Lembrete: regra da potência e regra da cadeia (explicação curta e exemplo).
  • Regra da potência: se g(t)=(\text{algo})^{n} com n constante, então a derivada é
g'(t)=n\cdot(\text{algo})^{\,n-1}\cdot(\text{derivada do "algo"}).
  • Exemplo simples: a derivada de (t-3)^{2} é 2(t-3)\cdot 1 = 2(t-3), porque a derivada de t-3 é 1.

Passo 4

Aplicando isso às partes da nossa função:
  • Para u(t)=(t-a)^{2}, pela regra da potência e cadeia,
u'(t)=2(t-a)\cdot 1 = 2(t-a).
(A derivada de t-a é 1 porque a é constante.)
  • Para v(t)=(t-b)^{-1}, também pela regra da potência,
v'(t)=-1\,(t-b)^{-2}\cdot 1 = -(t-b)^{-2}.
(De novo, derivada interna é 1.)

Passo 5

Regra do produto (explicação e aplicação): se f(t)=u(t)v(t), então
f'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
Aqui u(t)=(t-a)^{2} e v(t)=(t-b)^{-1}. Substituindo u, u', v, v' obtemos a derivada sem simplificar ainda.

Passo 6

Substituindo os resultados:
f'(t)=2(t-a)\,(t-b)^{-1} + (t-a)^{2}\left(- (t-b)^{-2}\right).
Escrevendo como frações (mais claro para simplificar):
f'(t)=\frac{2(t-a)}{t-b} - \frac{(t-a)^{2}}{(t-b)^{2}}.

Passo 7

Colocar em denominador comum (t-b)^{2} para simplificar:
f'(t)=\frac{2(t-a)(t-b)}{(t-b)^{2}} - \frac{(t-a)^{2}}{(t-b)^{2}} = \frac{2(t-a)(t-b) - (t-a)^{2}}{(t-b)^{2}}.

Passo 8

Fatorando o numerador para uma forma mais compacta:
2(t-a)(t-b) - (t-a)^{2} = (t-a)\bigl(2(t-b)-(t-a)\bigr).
Calculemos a expressão dentro do parêntese:
2(t-b)-(t-a)=2t-2b-t+a = t + a - 2b.
Portanto o numerador fica
(t-a)(t + a - 2b).

Passo 9

Resultado final simplificado e observação de domínio:
f'(t)=\frac{(t-a)(t + a - 2b)}{(t-b)^{2}},\quad \text{válido para } t\neq b.á
Boa notícia: essa é uma forma bem limpa e fácil de memorizar para a prova. Lembre-se de anotar que t=b é ponto fora do domínio.

Resposta

f'(t)=\frac{(t-a)(t + a - 2b)}{(t-b)^{2}}

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