Nos exercícios de 1 a 22, encontrar a derivada das funções dadas.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas:
-
e são constantes (parâmetros). - A variável é
. - A tarefa é calcular
, a derivada de em relação a . - Observação de domínio: a função (e sua derivada) só estão definidas quando
(pois há divisão por ).
Passo 2
Escolha do método. Vou reescrever a função como produto, porque assim usamos regras bem básicas (regra do produto e regra da cadeia/potência), que são fáceis de aplicar sem muita bagunça:
Alternativa possível seria aplicar diretamente a regra do quociente; ambas dão o mesmo resultado. Escolhi escrever como produto porque permite aplicar a regra do produto + potência de forma direta e bem didática.
Passo 3
Lembrete: regra da potência e regra da cadeia (explicação curta e exemplo).
- Regra da potência: se
com constante, então a derivada é
- Exemplo simples: a derivada de
é , porque a derivada de é .
Passo 4
Aplicando isso às partes da nossa função:
- Para
, pela regra da potência e cadeia,
(A derivada de
é
porque
é constante.)
- Para
, também pela regra da potência,
(De novo, derivada interna é
.)
Passo 5
Regra do produto (explicação e aplicação): se
, então
Aqui
e
. Substituindo
obtemos a derivada sem simplificar ainda.
Passo 6
Substituindo os resultados:
Escrevendo como frações (mais claro para simplificar):
Passo 7
Colocar em denominador comum
para simplificar:
Passo 8
Fatorando o numerador para uma forma mais compacta:
Calculemos a expressão dentro do parêntese:
Portanto o numerador fica
Passo 9
Resultado final simplificado e observação de domínio:
Boa notícia: essa é uma forma bem limpa e fácil de memorizar para a prova. Lembre-se de anotar que
é ponto fora do domínio.