Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.
r=e^theta / 2, pi <= theta <= 2 pi

Passo 1

O enunciado pede a área da região delimitada pela curva em coordenadas polares
r = e^theta/2
no setor pi <= theta <= 2pi.
Conteúdo: cálculo de área em coordenadas polares usando integrais definidas.

Passo 2

Em coordenadas polares, a área A de uma região entre theta=a e theta=b é dada por
A = 12 integrala^b r^2 ,dtheta

Passo 3

Aqui temos r = e^theta/2, logo
r^2 = l(e^theta/2r)^2 = e^theta

Passo 4

Substituindo em A, obtemos
A = 12 integralpi^2pi e^theta,dtheta

Passo 5

Calcule a integral:
integralpi^2pi e^theta,dtheta = l[e^thetar]pi^2pi = e^2pi - e^pi
Multiplicando por tfrac12, vem
A = 12l(e^2pi - e^pir)

Resposta

A = 12l(e^2pi - e^pir)

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