Find the area of the region that is bounded by the given curve and lies in the specified sector.
r=sin theta, quad pi / 3 <= theta <= 2 pi / 3

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares limitada pela curva
r=sintheta
e pelo setor pi/3<=theta<=2pi/3.
O conteúdo principal é cálculo de área em polares, usando a fórmula
A=12integraltheta1^theta2r^2,dtheta

Passo 2

Aplicamos diretamente a fórmula da área em polares com r=sintheta e os limites dados:
A=12integralpi/3^2pi/3(sintheta)^2,dtheta

Passo 3

Para facilitar a integral, usamos a identidade de ângulo duplo
sin^2theta=1-cos2theta2
Então
integralpi/3^2pi/3sin^2theta,dtheta =integralpi/3^2pi/31-cos2theta2,dtheta =12l[theta-sin2theta2r]pi/3^2pi/3

Passo 4

Calculamos a primitiva nos extremos:
No superior theta=2pi/3:
theta2-sin2theta4 =2pi/32-sin(4pi/3)4 =pi3--raiz3/24 =pi3+raiz38
No inferior theta=pi/3:
theta2-sin2theta4 =pi/32-sin(2pi/3)4 =pi6-raiz3/24 =pi6-raiz38
A diferença dá
integralpi/3^2pi/3sin^2theta,dtheta =l(pi3+raiz38r) -l(pi6-raiz38r) =pi6+raiz34
Multiplicando por 1/2:
A=12l(pi6+raiz34r) =pi12+raiz38

Resposta

A = pi12 + raiz38

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