Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
r^prime=8 cos 2 theta, r=2

Passo 1

O enunciado pede a área do conjunto de pontos que está dentro da curva
r=8cos2theta
e fora da circunferência
r=2
ambas em coordenadas polares. O conteúdo principal aqui é usar a fórmula de área em coordenadas polares e fazer a diferença de áreas, integrando sobre os intervalos em que a rosa 8cos2theta fica fora do círculo de raio 2.

Passo 2

Primeiro encontramos os ângulos de interseção resolvendo
8cos2theta = 2 Longrightarrow cos2theta = 14
Daí
2theta = pm arccos!l(tfrac14r) + 2kpi,
ou seja, dentro de [0,2pi) os quatro valores de theta são
theta = 12arccos!l(tfrac14r), pi - 12arccos!l(tfrac14r), pi + 12arccos!l(tfrac14r), 2pi - 12arccos!l(tfrac14r)
Definimos então
beta = 12arccos!l(tfrac14r),
de modo que em cada pétala, o intervalo em que a rosa fica fora do círculo é de comprimento 2beta.

Passo 3

A área procurada é a soma sobre as quatro pétalas de
integralthetai^-^thetai^+12l[(8cos2theta)^2 - (2)^2r],dtheta
Por simetria, basta calcular a contribuição numa pétala, por exemplo em thetain[-beta,beta], e depois multiplicar por 4.

Passo 4

Na pétala de -beta<=theta<=beta a integral é
A1 = integral-beta^beta12l[64cos^2(2theta) - 4r],dtheta = integral-beta^betal(32cos^2(2theta) - 2r),dtheta
Usamos cos^2(2theta)=tfrac12(1+cos4theta), logo
32cos^2(2theta)-2 =16l(1+cos4thetar)-2 =14 +16cos4theta

Passo 5

Integrando,
A1 = integral-beta^betal(14 +16cos4thetar),dtheta = l[14theta +4sin4thetar]-beta^beta =28beta +8sin(4beta)
A área total, somando as quatro pétalas, é
A = 4A1 = 4l(28beta +8sin4betar) =112beta +32sin4beta

Passo 6

Substituímos beta=tfrac12arccos(tfrac14) e calculamos
sin4beta = sin!l(2arccos(tfrac14)r) =2sin!l(arccos(tfrac14)r)cos!l(arccos(tfrac14)r) =2l(tfracraiz154r)l(tfrac14r) =raiz158
Portanto
A =112cdot12arccos!l(tfrac14r) +32cdotraiz158 =56arccos!l(tfrac14r)+4raiz15

Resposta

boxed56arccos!l(tfrac14r)+4raiz15

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