Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
Passo 1
O enunciado pede a área do conjunto de pontos que está dentro da curva
e fora da circunferência
ambas em coordenadas polares. O conteúdo principal aqui é usar a fórmula de área em coordenadas polares e fazer a diferença de áreas, integrando sobre os intervalos em que a rosa
fica fora do círculo de raio
.
Passo 2
Primeiro encontramos os ângulos de interseção resolvendo
Daí
ou seja, dentro de
os quatro valores de
são
Definimos então
de modo que em cada pétala, o intervalo em que a rosa fica fora do círculo é de comprimento
.
Passo 3
A área procurada é a soma sobre as quatro pétalas de
Por simetria, basta calcular a contribuição numa pétala, por exemplo em
, e depois multiplicar por 4.
Passo 4
Na pétala de
a integral é
Usamos
, logo
Passo 5
Integrando,
A área total, somando as quatro pétalas, é
Passo 6
Substituímos
e calculamos
Portanto