Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica dentro da curva
e fora da curva
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares. Para resolver, vamos:
- Identificar o intervalo de
em que (para que haja região entre as curvas). - Usar a fórmula da área em coordenadas polares
Passo 2
Encontrar as interseções e o intervalo de
.
Igualamos
Igualamos
Para ter
precisamos de
Passo 3
Montar a integral da área. Aqui o raio externo é
e o interno é
. Então
Passo 4
Expandimos o integrando:
E usamos
, logo
Portanto
Passo 5
Integramos termo a termo. Definindo
temos
Logo
Multiplicando por
,
Resposta
A área da região é