Find the area of the region that lies inside the first curve and outside the second curve.
r=1-sin theta, quad r=1

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica dentro da curva
r = 1 - sintheta
e fora da curva
r = 1
O conteúdo é cálculo de área em coordenadas polares. Para resolver, vamos:
  1. Identificar o intervalo de theta em que 1-sintheta>=1 (para que haja região entre as curvas).
  2. Usar a fórmula da área em coordenadas polares A = tfrac12 integralalpha^beta l(rexterno^2 - rinterno^2r),dtheta

Passo 2

Encontrar as interseções e o intervalo de theta.
Igualamos
1-sintheta = 1
implies sintheta = 0
implies theta = 0,;pi
Para ter 1-sintheta >= 1 precisamos de
-sintheta >= 0 Long<=ftrightarrow sintheta <= 0 Long<=ftrightarrow thetain[pi,2pi]

Passo 3

Montar a integral da área. Aqui o raio externo é
rrm ext = 1 - sintheta
e o interno é rrm int=1. Então
A = tfrac12 integralpi^2pi l[(1-sintheta)^2 - 1^2r],dtheta

Passo 4

Expandimos o integrando:
(1-sintheta)^2 - 1 = 1 -2sintheta + sin^2theta -1 = sin^2theta -2sintheta
E usamos sin^2theta = tfrac1-cos2theta2, logo
sin^2theta -2sintheta = tfrac12 - tfrac12cos2theta - 2sintheta
Portanto
A = tfrac12 integralpi^2pi l(tfrac12 - 2sintheta - tfrac12cos2thetar),dtheta

Passo 5

Integramos termo a termo. Definindo
F(theta)=integrall(tfrac12 - 2sintheta - tfrac12cos2thetar)dtheta = tfractheta2 + 2costheta - tfrac14sin2theta,
temos
F(2pi)=pi + 2, F(pi)=tfracpi2 - 2
Logo
integralpi^2pi(dots)dtheta = l(F(2pi)-F(pi)r) = l(pi+2 - (tfracpi2-2)r) = tfracpi2 +4
Multiplicando por tfrac12,
A = tfrac12l(tfracpi2+4r) = 2 + tfracpi4

Resposta

A área da região é
2 + tfracpi4

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